Ostrosłup czworokątny

[fiolek]

Ostrosłup czworokątny, którego podstawą jest kwadrat o boku 4m ma dwie przyległe ściany boczne prostopadłe do płaszczyzny podstawy. Pozostałe dwie ściany boczne są nachylone do płaszczyzny podstawy pod kątem 45. Wyznacz cosinus kąta, jaki tworzy najdłuższa krawędź boczna ostroslupa z płaszczyzną podstawy.

[anna_]

Sciany prostopadłe do podstawy to ABE i ADE
(kąty zaznaczone na zielono są proste, te czerwone mają po \(\displaystyle{ 45 ^{o}}\) )
Trójkąt ABE jest równoramienny, więc

\(\displaystyle{ |AE|=|AB|=4 cm}\)

Obliczam przekątną podstawy
\(\displaystyle{ |AC|=|AB| \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ |AC|=4 \sqrt{2} cm}\)

Obliczam |EC|
\(\displaystyle{ |EC|^2=|AC|^2+|AE|^2}\)
\(\displaystyle{ |EC|^2=32+16}\)
\(\displaystyle{ |EC|^2=48}\)
\(\displaystyle{ |EC|= \sqrt{48}}\)
\(\displaystyle{ |EC|=4 \sqrt{3} cm}\)

Obliczam \(\displaystyle{ cos\alpha}\)

\(\displaystyle{ cos\alpha= \frac{|AC|}{|EC|}}\)

\(\displaystyle{ cos\alpha= \frac{4 \sqrt{2} }{4 \sqrt{3} }}\)

\(\displaystyle{ cos\alpha= \frac{ \sqrt{2} }{ \sqrt{3} }}\)

\(\displaystyle{ cos\alpha= \frac{ \sqrt{6} }{3 }}\)