ostrosłup prawidłowy czworokątny

[kuchcik08]

W ostroslupie prawidlowym czworokatnym kat ostry sciany bocznej przy wierzchołku ostrosłupa ma miarę \(\displaystyle{ \alpha}\). Oblicz tangens kata ostrego Beta, jaki tworzy z plaszczyzna podstawy plaszczyzna przechodzaca przez wierzcholek ostroslupa oraz przez srodki dwoch sasiednich bokow podstawy.

Prosze o pomoc

[Justka]

AU

2vt8n5i.jpg (15.25 KiB) Przejrzano 42 razy

Przyjmujemy, że
\(\displaystyle{ |AB|=2a \ i \ |SO|=H}\)
Szukamy: \(\displaystyle{ tg\beta=\frac{H}{|OK|}}\), gdzie \(\displaystyle{ \beta=\angle OKS}\)

A więc korzystając z kąta \(\displaystyle{ \alpha=\angle ASB}\) otrzymujemy \(\displaystyle{ sin\frac{1}{2}\alpha=\frac{a}{|SB|} \ \ |SB|=a sin \frac{1}{2}\alpha}\), zatem:

\(\displaystyle{ H=\sqrt{|SB|^2-|OB|^2}}\), gdzie \(\displaystyle{ |OB|=a\sqrt{2}}\), więc \(\displaystyle{ H=\frac{a\sqrt{1-sin^2\frac{1}{2}\alpha}}{sin\frac{1}{2}\alpha}}\)

Odcinek |OK| to połowa odcinka |OB| stąd \(\displaystyle{ |OK|=\frac{a\sqrt{2}}{2}}\)

Zatem:
\(\displaystyle{ \tg\beta=\frac{\frac{a\sqrt{1-sin^2\frac{1}{2}\alpha}}{sin\frac{1}{2}\alpha}}{\frac{a\sqrt{2}}{2}}=\frac{\sqrt{2(1-2sin^2\frac{1}{2}\alpha)}}{sin\frac{1}{2}\alpha}}\)

[kuchcik08]

dzieki