Zadanie 1
Pole ściany bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe S. Kąt płaski przy wierzchołku ostrosłupa ma miarę \(\displaystyle{ 2 }\). Oblicz objętość ostrosłupa.
Ostrosłup prawidłowy czworokątny - objętość:
-
Justka
- Użytkownik
- Posty: 1680
- Rejestracja: 25 sty 2007, o 12:58
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 579 razy
Ostrosłup prawidłowy czworokątny - objętość:
Pole ściany bocznej to \(\displaystyle{ S=\frac{1}{2}ah}\), gdzie a krawędź podstawy oraz h wysokośc ściany bocznej. Korzystając z podanego kąta otrzymujemy, że \(\displaystyle{ ctg\alpha=\frac{h}{\frac{a}{2}} \iff h=\frac{a ctg\alpha}{2}}\), zatem podstawiając otrzymane h do pierwszego wzoru mamy:
\(\displaystyle{ S=\frac{1}{2}a\cdot \frac{a ctg\alpha}{2}=\frac{a^2 ctg\alpha}{4} \iff a=\frac{2\sqrt{S}}{\sqrt{ctg\alpha}}}\)
Do obliczenia objętości potrzebujemy jeszcze wysokości ostrosłupa.
\(\displaystyle{ H=\sqrt{h^2-(\frac{a}{2})^2} \iff H=\frac{a\sqrt{ctg^2\alpha-1}}{2}}\)
I wystarczy podstawić do wzoru: \(\displaystyle{ V=\frac{1}{3}a^2H \ \ V=\frac{a^3\sqrt{ctg^2\alpha-1}}{6} \iff V=\frac{(\frac{2\sqrt{S}}{\sqrt{ctg\alpha}})^3\sqrt{ctg^2\alpha-1}}{6}}\)
\(\displaystyle{ S=\frac{1}{2}a\cdot \frac{a ctg\alpha}{2}=\frac{a^2 ctg\alpha}{4} \iff a=\frac{2\sqrt{S}}{\sqrt{ctg\alpha}}}\)
Do obliczenia objętości potrzebujemy jeszcze wysokości ostrosłupa.
\(\displaystyle{ H=\sqrt{h^2-(\frac{a}{2})^2} \iff H=\frac{a\sqrt{ctg^2\alpha-1}}{2}}\)
I wystarczy podstawić do wzoru: \(\displaystyle{ V=\frac{1}{3}a^2H \ \ V=\frac{a^3\sqrt{ctg^2\alpha-1}}{6} \iff V=\frac{(\frac{2\sqrt{S}}{\sqrt{ctg\alpha}})^3\sqrt{ctg^2\alpha-1}}{6}}\)