Objętośc i pole powierzchni ostrosłupa

[fiolek7317]

Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, mając dane:
a) krawędź podstawy d=4 pierwiastka z 3 cm, kąt pomiędzy wysokością ściany bocznej a podstawą b=30 stopni,
b) wysokość ostrosłupa h=8 cm, kąt między wysokością a ściana boczną ostrosłupa alfa = 45 stopni
c) pole powierzchni bocznej P= 64 cm kwadratowe, kąt miedzy wysokością, a scianą boczną alfa=30 stopni

[Natasha]

AD. a).

\(\displaystyle{ V= \frac{1}{3} * Pp*H}\)
\(\displaystyle{ Pp = (4 \sqrt{3}) ^{2} = 48}\)
\(\displaystyle{ \frac{H}{ \frac{1}{2}*4 \sqrt{3} } = tg 30 ^{\circ}}\)
Stąd \(\displaystyle{ 3H = 6}\)
\(\displaystyle{ H=2}\)
\(\displaystyle{ V= \frac{1}{3} * 48 * 2= 32 [cm ^{3}]}\)

\(\displaystyle{ Ppc = Pp + 4* \frac{1}{2} * 4 \sqrt{3} * h}\) (wysokość ściany bocznej)
\(\displaystyle{ Ppc = 48+8 \sqrt{3}h}\)

\(\displaystyle{ \frac{H}{h} = sin 30 ^{\circ}}\)
\(\displaystyle{ \frac{2}{h} = \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ h=4}\)
\(\displaystyle{ Ppc = 48+8 \sqrt{3}*4= 48+ 32 \sqrt{3}[cm ^{2}]}\)





Ad. b)

H = 8
\(\displaystyle{ \frac{8}{ \frac{1}{2}a } = tg 45 ^{\circ}}\)
\(\displaystyle{ a=16}\)
\(\displaystyle{ Pp= 16 ^{2} = 256}\)
\(\displaystyle{ V= \frac{1}{3} * 256 * 8= 682 \frac{2}{3} cm ^{2}}\)

\(\displaystyle{ Ppc = 256 + 32h}\)
\(\displaystyle{ \frac{H}{h} = sin 30 ^{\circ}}\)
\(\displaystyle{ \frac{8}{h} = \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)
\(\displaystyle{ h=8 \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ ppc = 256 + 256 \sqrt{2}[cm ^{2} ]}\)




Ad. c).


\(\displaystyle{ Ppb=64=4* \frac{1}{2} *ah}\)
ah = 32
\(\displaystyle{ a= \frac{32}{h}}\)
\(\displaystyle{ \frac{H}{ \frac{1}{2} a} = \frac{ \sqrt{3} }{3} (tg 30 ^{\circ}}\)
stąd
\(\displaystyle{ a=2 \sqrt{3}H}\)
\(\displaystyle{ a= \frac{32}{h}}\)
\(\displaystyle{ \frac{32}{h}=2 \sqrt{3}H}\)
\(\displaystyle{ Hh= \frac{16 \sqrt{3} }{3}}\)
\(\displaystyle{ \frac{H}{h} = sin 30 ^{\circ} = \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ h=2H}\)
\(\displaystyle{ 3H=\frac{16 \sqrt{3} }{3}}\)
\(\displaystyle{ H=\frac{16 \sqrt{3} }{9}}\)
\(\displaystyle{ h=\frac{32 \sqrt{3} }{3}}\)
\(\displaystyle{ a= \frac{32}{h}}\)
\(\displaystyle{ a=3 \sqrt{3}}\)

\(\displaystyle{ Ppc= 64+ (3 \sqrt{3}) ^{2} =91 [cm ^{2} ]}\)
\(\displaystyle{ V= \frac{1}{3} * 27* \frac{16 \sqrt{3} }{9}=16 \sqrt{3} [cm ^{3}]}\)

[fiolek7317]

dzięki