Witam.
Długości krawędzi prostopadłościanu wyrażone w centymetrach są liczbami naturalnymi. Jedna ze ścian ma pole \(\displaystyle{ 18 cm^2}\), a druga \(\displaystyle{ 45 cm^2}\). Jakie wymiary może mieć ten prostopadłościan? (Podaj wszystkie rozwiązania).
Oznaczając boki tego prostopadłościanu przez \(\displaystyle{ a, b, c}\), mam taki układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} ab=18 \\ ac=45 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ 18 = 18 1 = 9 2 = 6 3 \\ 45 = 45 1 = 15 3 = 9 5}\)
Powyżej wypisałem możliwe długości, aby liczby \(\displaystyle{ a, b, c}\) były naturalne.
Przez zwykłe podstawianie dochodzę do tego, że istnieją trzy rozwiązania \(\displaystyle{ (a,b,c) = (1,18,45) , (3,6,15) , (9,2,5)}\)
Teraz coś dziwnego... Takich układów mogę ułożyć aż 6, więc razem rozwiązań będzie 18 rozwiązań.
Te układy to:
\(\displaystyle{ \begin{cases} ab=18 \\ ac=45 \end{cases} \ \ \begin{cases} ab=18 \\ bc=45 \end{cases} \ \ \begin{cases} ac=18 \\ ab=45 \end{cases} \ \ \begin{cases} ac=18 \\ ab=45 \end{cases} \ \ \begin{cases} bc=18 \\ ab=45 \end{cases} \ \ \begin{cases} bc=18 \\ ac=45 \end{cases}}\)
Wydaje mi się, że za dużo.... (to jest raczej zadanie szkolne i wątpię, żeby tyle rozwiązań trzeba było wypisywać ).
Gdzieś chyba robię błąd, tylko gdzie?
Z góry dziękuję za pomoc.