Kąty ostrosłupa trójkątnego

Sześciany. Wielościany. Kule. Inne bryły. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa w przestrzeni.
Awatar użytkownika
Kamila
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 60
Rejestracja: 16 lip 2006, o 13:33
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 53 razy

Kąty ostrosłupa trójkątnego

Post autor: Kamila »

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź boczna jest dwa razy dłuższa od krawędzi podstawy. Wysokość podstawy ostrosłupa wynosi 4 \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\)cm.
a)Oblicz sinus kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy ostrosłupa.
b)Oblicz cosinus kąta dwuściennego w tym ostrosłupie utworzonego przez parę ścian bocznych

Proszę o pomoc
lukasz1804
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4438
Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 1313 razy

Kąty ostrosłupa trójkątnego

Post autor: lukasz1804 »

a) Sinus szukanego kąta jest równy stosunkowi wysokości H ostrosłupa do wysokości h ściany bocznej.
Ponieważ wysokość podstawy ostrosłupa wynosi \(\displaystyle{ 4\sqrt{3}}\), to łatwo policzymy długość \(\displaystyle{ a}\) krawędzi podstawy: \(\displaystyle{ a=8}\). Zatem krawędź boczna ostrosłupa ma długość \(\displaystyle{ 2a=16}\). Stąd i z twierdzenia Pitagorasa mamy \(\displaystyle{ 16^2=H^2+(\frac{8\sqrt{3}}{3})^2}\), czyli \(\displaystyle{ H=8\sqrt{11}}\). Dalej, znów z twierdzenia Pitagorasa dostajemy \(\displaystyle{ h^2=H^2+(\frac{8}{2})^2=720}\), więc \(\displaystyle{ h=12\sqrt{5}}\). Zatem \(\displaystyle{ \frac{H}{h}=\frac{2\sqrt{55}}{15}}\).

b) Ściany boczne danego ostrosłupa są trójkątami równoramiennymi. Obliczmy długość c wysokości takiego trójkąta poprowadzonej do ramienia (krawędzi bocznej równej 16). Wyznaczmy najpierw długość d wysokości tego trójkąta opuszczonej do krawędzi podstawy ostrosłupa. Z twierdzenia Pitagorasa mamy \(\displaystyle{ 16^2=d^2+(\frac{8}{2})^2}\), więc \(\displaystyle{ d=4\sqrt{15}}\). Stąd i ze wzoru na pole trójkąta możemy wyrazić pole ściany bocznej ostrosłupa na dwa sposoby:
\(\displaystyle{ \frac{8\cdot d}{2}=\frac{16\cdot c}{2}}\),
skąd wynika, że \(\displaystyle{ c=\frac{d}{2}=2\sqrt{15}}\).
Szukany kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) jest kątem między ramionami w trójkącie o bokach c, c, a. Zatem z twierdzenia kosinusów mamy \(\displaystyle{ 8^2=2c^2(1-\cos\alpha)}\), więc \(\displaystyle{ \cos\alpha=1-\frac{8}{15}=\frac{7}{15}}\).

Pozdrawiam
Awatar użytkownika
Kamila
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 60
Rejestracja: 16 lip 2006, o 13:33
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 53 razy

Kąty ostrosłupa trójkątnego

Post autor: Kamila »

Dziękuję
ODPOWIEDZ