Objętość ostrosłupa

[arkadions]

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym odległość środka wysokości od krawędzi bocznej i od ściany bocznej wynoszą odpowiednio a i b. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

[florek177]

Oznaczymy: H - wys. ostr.; h - wys. ściany bocz.; k - krawędź boczna; c - krawędź podstawy. O - środek podstawy, S - wierzchołek. \(\displaystyle{ \alpha \,\,\}\) - kąt przy S trójkąta z \(\displaystyle{ k \,\,\}\) ; \(\displaystyle{ \beta \,\,\}\) - kąt odpowiednio z \(\displaystyle{ h \,\,\}\).

Odległości \(\displaystyle{ a , b \,\,\}\) przesuwamy z połowy wysokości do \(\displaystyle{ K \,\,\}\) i otrzymujemy odpowiednio: \(\displaystyle{ 2a \,\ i \,\ 2b \,\,\}\) - z podobieństwa trójkątów ; a kąty ostre przy \(\displaystyle{ K \,\,\}\) do podstawy mają odpowiednio: \(\displaystyle{ \alpha \,\ i \,\ \beta \,\,\}\).

\(\displaystyle{ sin(\alpha) = \frac{2 \, a}{H} \,\,\}\) ; \(\displaystyle{ cos(\alpha) = \frac{4 \, a}{c \, \sqrt{2}} \,\,\}\) ; \(\displaystyle{ sin(\beta) = \frac{2 \, b}{H} \,\,\}\) ; \(\displaystyle{ cos(\beta) = \frac{4 \, b}{c} \,\,\}\) ;

Z jedynki trygonometrycznej uzyskujesz układ równań, z którego wyznaczasz c i H.

\(\displaystyle{ V = \frac{16}{3} \frac{a^{3} \, b^{3}}{(a^{2} - b^{2}) \, \sqrt{2 \, b^{2} - a^{2}}} \,\,\}\) gdy: \(\displaystyle{ a ( b , b \, \sqrt{2} )}\)

[robin09]

Mam problem z rozwiązaniem powstałego układu równań. W końcu udało mi się go rozwiązać przy pomocy metody wyznaczników po przekształceniu do postaci:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{4a^{2}}{x^{2}} \cdot x + \frac{8a^{2}}{y^{2}} \cdot y=1 \\ \frac{4b^{2}}{x^{2}} \cdot x + \frac{16b^{2}}{y^{2}} \cdot y =1 \end{cases}}\)
gdzie \(\displaystyle{ x= H^{2}, y=c ^{2}}\)

\(\displaystyle{ W= \frac{32a ^{2} b ^{2} }{x ^{2} y^{2} }, W _{x}= \frac{8(2b ^{2} -a ^{2} )}{y ^{2} }, W _{y}= \frac{4(a ^{2}-b ^{2} ) }{x ^{2} }}\)
\(\displaystyle{ x=\frac{x ^{2} (2b ^{2}-a ^{2} ) }{4a ^{2} b ^{2} }, y=\frac{y ^{2} (a ^{2}-b ^{2} ) }{8a ^{2} b ^{2} }}\)
Z tego otrzymuję:
\(\displaystyle{ x= \frac{4a ^{2} b ^{2} }{2b ^{2} -a ^{2} } =H ^{2} \Rightarrow H= \frac{2ab}{ \sqrt{2b ^{2} -a ^{2}} }}\)
\(\displaystyle{ y= \frac{8a ^{2} b ^{2} }{a ^{2} -b ^{2} } =c ^{2}}\)

Ale może da się jakoś łatwiej?

[florek177]

sprowadź do wspólnego mianownika, wyznacz \(\displaystyle{ \,\,H^{2} \,\,}\) , wstaw do drugiego i wychodzi ładne \(\displaystyle{ \,\, c^{2} \, \,\,}\) które po wstawieniu do \(\displaystyle{ \,\,H^{2} \,\,}\) i uproszczeniach da takie same wynik.