Graniastosłup prawidłowy czworokątny

[Minority]

W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy ma długość a. Wartość pół: podstawy, powierzchni bocznej i powierzchni całkowitej są odpowiedni kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Wyznacz tangens kąta nachylenia przekątnej prostopadłościanu do jego podstawy.

[Sherlock]

Wyznacz tangens kąta nachylenia przekątnej prostopadłościanu do jego podstawy.

Tangensem tego kąta będzie stosunek krawędzi bocznej (czyli wysokości graniastosłupa) do przekątnej podstawy (czyli \(\displaystyle{ a\sqrt{2}}\) )

Zadanie sprowadza się do obliczenia wysokości.

Wartość pół: podstawy, powierzchni bocznej i powierzchni całkowitej są odpowiedni kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego.

Pole podstawy: \(\displaystyle{ P_{p}= a^{2}}\)
Pole powierzchni bocznej: \(\displaystyle{ P_{pb} = 4aH}\)
Pole powierzchni całkowitej: \(\displaystyle{ P_{c}=2a^{2} +4aH}\)

\(\displaystyle{ \frac{2a^{2} +4aH}{ 4aH} = \frac{4aH}{a^{2}}}\)
\(\displaystyle{ 16a^{2} H^{2}=2a^{4}+4a^{3}H}\)
\(\displaystyle{ a^4 + 2a^{3}H-8a^2 H^{2}=0}\)
\(\displaystyle{ a^2(a^2 + 2Ha-8H^{2})=0}\)

rozwiązujemy równanie kwadratowe: \(\displaystyle{ a^2 + 2Ha-8H^{2}=0}\)
\(\displaystyle{ a=2H}\)
\(\displaystyle{ a=-4H}\) (ten pierwiastek odrzucamy ponieważ bok nie może być ujemny a wysokość jest dodatnia)

\(\displaystyle{ H= \frac{a}{2}}\)

Teraz już tangens możemy policzyć

[Minority]

dzięki Ci nie zauważyłam, że tam wyszło równanie kwadratowe