objetosc ostroslupa

[Tommy]

witam

nie potrafie sobie poradzic z takim zadaniem:

Dany jest ostroslup o podstawie sześciokąta foremnego o wysokości h=2\(\displaystyle{ \sqrt{3}}\) i kącie nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy 60stopni. Sporządź rysunek i oblicz pole powierzchni bocznej i objętość tego ostrosłupa.

[Sherlock]

Z trójkąta prostokątnego (czerwona i zielona przyprostokątna, niebieska przeciwprostokątna), korzystając z funkcji trygonometrycznych obliczamy długości brakujących boków.

Oznaczmy bok niebieski jako x, zielony jako y.

\(\displaystyle{ sin 60^0= \frac{2 \sqrt{3} }{x}}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{3} }{2} =\frac{2 \sqrt{3} }{x}}\)
\(\displaystyle{ x=4}\)

i...
\(\displaystyle{ cos 60^0= \frac{y}{4}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} = \frac{y}{4}}\)
\(\displaystyle{ y= 2}\)

Wykorzystując wysokość trójkąta równobocznego (czyli nasz bok y) policzymy bok tego trójkąta (zauważ, że sześciokąt foremny składa się z sześciu takich trójkątów równobocznych). Oznaczmy bok trójkąta (czyli także bok sześciokąta) jako a:

\(\displaystyle{ 2= \frac{a \sqrt{3} }{2}}\)
\(\displaystyle{ a= \frac{4 \sqrt{3} }{3}}\)

Mając bok sześciokąta a, wysokość ostrosłupa, oraz wysokość ściany bocznej x dalej już chyba wiadomo...

[Tommy]

prosze Cie dokoncz te zadanie bo mam ich tyle ze jestem zasypany , jesli bys mogl to bede bardzo wdzieczny

[Sherlock]

Powierzchnia boczna to pole sześciu trójkątów równoramiennych:

\(\displaystyle{ P=6 \frac{1}{2}xa=3 4 \frac{4 \sqrt{3} }{3}= 16 \sqrt{3}}\)

Do objętości potrzebne nam pole podstawy czyli sześciokątu foremnego. Policzymy je jako sumę pól sześciu trójkątów równobocznych z których ten sześciokąt się składa:

\(\displaystyle{ P_{podstawy}=6 \frac{a^2 \sqrt{3} }{4}}\)

\(\displaystyle{ a^2=( \frac{4 \sqrt{3} }{3} )^2= \frac{16 3 }{9}= \frac{16}{3}}\)

\(\displaystyle{ P_{podstawy}=6 \frac{a^2 \sqrt{3} }{4} =6 \frac{16 \sqrt{3} }{12}=8 \sqrt{3}}\)

Objętość:
\(\displaystyle{ Obj = \frac{1}{3} 2 \sqrt{3} 8 \sqrt{3} =16}\)