stożek

[wiolcia8204]

wysokośc stożka podzielono na 3 równe części płaszczyznami równoległymi do jego podstawy. W ten sposób stożek został podzielony na trzy bryły. Wyznacz stosunek objątości środkowej bryły do objętości całego stożka.

[Grzegorz t]

Zrób sobie ładny rysunek
po podzieleniu stożka płaszczyzną powstaną nam dwa trapezy równoramienne w przekroju oraz trójkąt równoboczny, wprowadźmy dane:

\(\displaystyle{ r_1}\)- połowa dolnej podstawy największego trapezu równoram.
\(\displaystyle{ r_2}\) połowa dolej podstawy drugiego trapezu równor.
\(\displaystyle{ r_3}\) - połowa podstawy trójkąta równoramiennego
\(\displaystyle{ x - \frac{1}{3}h}\)
\(\displaystyle{ h}\)- wysokość trapezu
Z podobieństwa odpowiednich trójkątów powstałych po przecięciu stożka płaszczyznami mamy
\(\displaystyle{ \frac{x}{r_3}= \frac{2x}{r_2}= \frac{3x}{r_1}!!!!}\)

i ze wzorów
\(\displaystyle{ \begin{cases}V_3= \frac{1}{3}\pi\cdot r_3^2\cdot x \\V_2+V_3= \frac{1}{3}\pi\cdot r_2^2\cdot 2x\\V_1+V_2+V_3= \frac{1}{3}\pi\cdot r_1^2\cdot 3x \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \frac{V_2}{V_1+V_2+V_3}= \frac{ \frac{1}{3}\pi\cdot x(2r_2^2-r_3^2) }{ \frac{1}{3}\pi r_1^2\cdot 3x }= \frac{2r_2^2-r_3^2}{r_1^2}=2( \frac{r_1}{r_2})^2-( \frac{r_3}{r_1})^2*}\)
Teraz wykorzystując \(\displaystyle{ !!!!}\), że \(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{r_3}{r_1}= \frac{1}{3} \\ \frac{r_1}{r_2}= \frac{3}{2} \end{cases}}\) podstawić pod \(\displaystyle{ *}\) i gotowe