W graniastoslupie prawidłowym czworokatnym dlugość krawedzi bocznej jest k razy wieksza od dlugosci krawedzi podstawy. Wyznacz wszystkie wartosci k, dla których długosci: krawedzi podstawy, przekątnej podstawy i przekątnej graniastosłupa sa kolejnymi wyrazami rosnącego ciagu geometrycznego.
Proszę o pomoc
graniastosłup prawidłowy czworokątny
-
Justka
- Użytkownik
- Posty: 1680
- Rejestracja: 25 sty 2007, o 12:58
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 579 razy
graniastosłup prawidłowy czworokątny
\(\displaystyle{ a_1=a}\)-długość krawędzi podstawy
\(\displaystyle{ a_2=a\sqrt{2}}\) -długość przekątnej podstawy
Wiemy, że krawędź boczna jest równa \(\displaystyle{ ak}\), zatem przekątna graniastosłupa to \(\displaystyle{ a_3=\sqrt{a^2+a^2+(ak)^2}=a\sqrt{2+k^2}}\).
Te trzy wielkości \(\displaystyle{ a_1,a_2,a_3}\) mają tworzyć rosnący ciąg geometryczny. Widzimy, że iloraz ciagu jest równy \(\displaystyle{ q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{a\sqrt{2}}{a}=\sqrt{2}}\), zatem:
\(\displaystyle{ a_3=a_2q \iff a\sqrt{2+k^2}=a\sqrt{2}\cdot \sqrt{2} \iff \sqrt{2+k^2}=2 \iff k=\sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ a_2=a\sqrt{2}}\) -długość przekątnej podstawy
Wiemy, że krawędź boczna jest równa \(\displaystyle{ ak}\), zatem przekątna graniastosłupa to \(\displaystyle{ a_3=\sqrt{a^2+a^2+(ak)^2}=a\sqrt{2+k^2}}\).
Te trzy wielkości \(\displaystyle{ a_1,a_2,a_3}\) mają tworzyć rosnący ciąg geometryczny. Widzimy, że iloraz ciagu jest równy \(\displaystyle{ q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{a\sqrt{2}}{a}=\sqrt{2}}\), zatem:
\(\displaystyle{ a_3=a_2q \iff a\sqrt{2+k^2}=a\sqrt{2}\cdot \sqrt{2} \iff \sqrt{2+k^2}=2 \iff k=\sqrt{2}}\)