zadanie maturalne

[adamos64]

Podstawą ostrosłupa jest trójkąt równoramienny o długości ramienia a i kącie między ramionami 2 alfa. Spodek wysokości ostrosłupa jest środkiem okręgu wpisanego w podstawe, a ściany boczne ostrosłupa są nachylone do płaszczyzny podstawy pod kątem Beta. Wyznacz objętość ostrosłupa.

[Grzegorz t]

\(\displaystyle{ ABC}\) - tr. równoramienny w podstawie
\(\displaystyle{ AC=BC=a}\) - ramiona trójkąta
\(\displaystyle{ AB=x}\) - podstawa trójkąta
\(\displaystyle{ O}\) - środek okręgu wpisanego w trójkąt równoramienny w podstawie
\(\displaystyle{ OK^{\prime}}\) - promień okręgu wpisanego w podstawę
\(\displaystyle{ S}\)- wierzchołek ostrosłupa
\(\displaystyle{ S^{\prime}}\) - rzut punktu S na ramię trójkąta równoramiennego w postawie
\(\displaystyle{ H=OS}\)- wysokość ostrosłupa
trójkąt \(\displaystyle{ SOK^{\prime}}\) - jest prostokątny, \(\displaystyle{ \sphericalangle SOK^{\prime}=90^{\circ}}\)

Pole tr. równoramiennego w podstawie:

\(\displaystyle{ P= \frac{1}{2}\cdot a^2\cdot sin2\alpha}\)

Trzeci bok tr. równoramiennego w podstawie
\(\displaystyle{ sin\alpha= \frac{ \frac{1}{2}x }{a} x=2asin\alpha}\)


Promień okręgu wpisanego (ze wzoru \(\displaystyle{ r= \frac{P}{p}, p}\) - połowa obwodu trójkata równ.

\(\displaystyle{ r= \frac{\frac{1}{2}\cdot a^2\cdot sin2\alpha}{a+asin\alpha}= \frac{ \frac{1}{2}asin2\alpha }{1+sin\alpha}}\)

Z funkcji trygonometrycznych dla trójkąta \(\displaystyle{ SOK^{\prime}}\)

\(\displaystyle{ tg\beta= \frac{H}{OK^{\prime}}= \frac{H}{r} H=r\cdot tg\beta= \frac{ \frac{1}{2}asin2\alpha tg\beta }{1+sin\alpha}}\)

Czyli mamy \(\displaystyle{ \begin{cases}P_{P}= \frac{1}{2}a^2sin2\alpha \\H= \frac{ \frac{1}{2}asin2\alpha tg\beta }{1+sin\alpha} \end{cases}}\)

podstawić pod wzór \(\displaystyle{ V= \frac{1}{3}\cdot P_{P}\cdot H=...}\)

[ Dodano: 10 Listopada 2008, 21:40 ]
chcę tylko dodać, że \(\displaystyle{ S^{\prime}=K^{\prime}}\) oraz \(\displaystyle{ OK^{\prime}=r}\)