Witam. Mam problem z takim zadaniem.
Oblicz wysokość czworościanu foremnego o objętości V.
Wynik ma być:
\(\displaystyle{ H= 2 \sqrt[6] { \frac{ V^{2} } {3} }}\)
Proszę o pomoc.
Wysokość czworościanu
-
Justka
- Użytkownik
- Posty: 1680
- Rejestracja: 25 sty 2007, o 12:58
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 579 razy
Wysokość czworościanu
Wykorzystamy dwa wzory:
Z jednej strony czworościan foremny to ostrosłup prawidłowy trójkatny, czyli jego objętośc możemy wyrazić za pomocą wzoru \(\displaystyle{ V=\frac{1}{3}\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}H \iff H=\frac{4V\sqrt{3}}{a^2} \ (*)}\).
Z drugiej wzór na objętośc czworościanu \(\displaystyle{ V=\frac{a^3\sqrt{2}}{12} \iff a=\sqrt[3]{6V\sqrt{2}}}\)
I teraz podstawiamy wyliczone "a" do wzoru (*), zatem:
\(\displaystyle{ H=\frac{4V\sqrt{3}}{(\sqrt[3]{6V\sqrt{2}})^2}}\) i po krótkich przekształceniach dochodzimy do postaci:
\(\displaystyle{ H=2\sqrt[6]{\frac{V^2}{3}}}\)
Z jednej strony czworościan foremny to ostrosłup prawidłowy trójkatny, czyli jego objętośc możemy wyrazić za pomocą wzoru \(\displaystyle{ V=\frac{1}{3}\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}H \iff H=\frac{4V\sqrt{3}}{a^2} \ (*)}\).
Z drugiej wzór na objętośc czworościanu \(\displaystyle{ V=\frac{a^3\sqrt{2}}{12} \iff a=\sqrt[3]{6V\sqrt{2}}}\)
I teraz podstawiamy wyliczone "a" do wzoru (*), zatem:
\(\displaystyle{ H=\frac{4V\sqrt{3}}{(\sqrt[3]{6V\sqrt{2}})^2}}\) i po krótkich przekształceniach dochodzimy do postaci:
\(\displaystyle{ H=2\sqrt[6]{\frac{V^2}{3}}}\)