zadanie z ostrosłupem

Sześciany. Wielościany. Kule. Inne bryły. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa w przestrzeni.
n0o
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 33
Rejestracja: 18 paź 2005, o 11:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 7 razy

zadanie z ostrosłupem

Post autor: n0o »

Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest równe S, a ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawypod kątem alfa. Oblicz długość krawędzi podstawy tego ostrosłupa.

Pomoże ktoś???????
Awatar użytkownika
Amon-Ra
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 882
Rejestracja: 16 lis 2005, o 16:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Tczew
Pomógł: 175 razy

zadanie z ostrosłupem

Post autor: Amon-Ra »

Ostrosłup prawidłowy trójkątny to taki, który ma foremną, trójkątną podstawę - jest ona zatem trójkątem równobocznym o boku długości a.
Z zadania wiadomo, że pole całkowite bryły oznaczono przez S. Otrzymujemy zatem:
\(\displaystyle{ S=P_{s. bocznych}+P_{podstawy}=P_{sb}+P_{p}}\)
Bryła ma trzy identyczne ściany boczne, będące trójkątami równoramiennymi:
\(\displaystyle{ P_{sb}=\frac{S-P_{p}}{3}}\)
Z właściwości trójkąta równobocznego wiemy, że jego pole wyraża się wzorem \(\displaystyle{ P_{p}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}}\). Możemy zatem zapisać:
\(\displaystyle{ P_{sb}=\frac{S-P_{p}}{3}=\frac{S-\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}}{3}=\frac{4S-a^{2}\sqrt{3}}{12}}\)

Wysokość tej bryły, podając pod kątem prostym na płaszczyznę podstawy, przecina geometryczny jej środek , czyli punkt przecięcia wysokości trójkąta równobocznego. Przez \(\displaystyle{ \overline{AB}}\) oznaczmy krótszy odcinek, który powstaje po takim przecięciu (czyli krótszą część odcinka stanowiącego wysokość trójkąta). Z właściwości tej figury można w miarę ławo wyliczyć, że jego długość wynosi \(\displaystyle{ |AB|=\frac{a\sqrt{3}}{6}}\).

Jakie będzie zatem pole powierzchni trójkąta równoramiennego, stanowiącego ścianę boczną? Będzie wynosiło \(\displaystyle{ P_{sb}=\frac{ah}{2}}\). gdzie h to jej wysokość.

Zauważ, że między odcinkiem \(\displaystyle{ \overline{AB}}\) i wysokością h ściany bocznej powstaje kąt α. Jego cosinusem jest zatem stosunek długości odcinka do wysokości - \(\displaystyle{ cos\alpha=\frac{|AB|}{h}}\). Z tego wynika, że \(\displaystyle{ h=\frac{a\sqrt{3}}{6\cdot cos\alpha}}\). Okazuje się zatem, że pole powierzchni ściany bocznej to \(\displaystyle{ P_{sb}=\frac{ah}{2}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{12\cdot cos\alpha}}\).
Stąd otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \frac{a^{2}\sqrt{3}}{12\cdot cos\alpha}=\frac{4S-a^{2}\sqrt{3}}{12}}\)

Rozwiązując taką proporcję, dostajemy, co następuje:

\(\displaystyle{ 12a^{2}\sqrt{3}=12cos\alpha (4S-a^{2}\sqrt{3})}\) \(\displaystyle{ | :12}\)

\(\displaystyle{ a^{2}\sqrt{3}=cos\alpha (4S-a^{2}\sqrt{3})}\)

\(\displaystyle{ a^{2}\sqrt{3}=4Scos\alpha-a^{2}\sqrt{3}cos\alpha}\)

\(\displaystyle{ a^{2}\sqrt{3}+a^{2}\sqrt{3}cos\alpha=4Scos\alpha}\)

\(\displaystyle{ a^{2}\sqrt{3}(1+cos\alpha)=4Scos\alpha}\) \(\displaystyle{ | :\sqrt{3}(1+cos\alpha)}\)

\(\displaystyle{ a^{2}=\frac{4Scos\alpha}{\sqrt{3}(1+cos\alpha)}\cdot\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{4S\sqrt{3}cos\alpha}{3(1+cos\alpha)}}\)

I w końcu \(\displaystyle{ a=\sqrt{\frac{4S\sqrt{3}cos\alpha}{3(1+cos\alpha)}}}\).

Naturalnie sprawdź jeszcze obliczenia!
n0o
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 33
Rejestracja: 18 paź 2005, o 11:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 7 razy

zadanie z ostrosłupem

Post autor: n0o »

thx
ODPOWIEDZ