Zadanie dotyczące figur obrotowych

[hyhy:)]

W walec o objetosci V wpisano ostrosłup w taki sposób ze podstawa ostroslupa ktora jest trojkatem o kącie alfa miedzy ramionami jest wpisana w podstawe walca a wierzcholek ostroslupa jest srodkiem drugiej podstawy walca. Oblicz objetosc ostroslupa...

Prosil by o jakies wsk. dot. zadania. dziekuje

[Młody fryta]

Z treści zadania wynika, że musi to być ostrosłup prawidłowy trójkątny, czyli jego podstawą jest trójkąt równoboczny (innej możliwości nie ma!).
Oznaczenia:

R - promień podstawy walca;
V - objętość walca: V=Pi*R^2*H
H - wysokość walca i jednocześnie ostrosłupa;
P - pole podstawy ostrosłupa;
V1 - objętość ostrosłupa: V1=1/3*P*H;
a - bok podstawy ostrosłupa;

Korzystamy ze wzoru na promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym:
R=a*sqrt(3)/3, stąd:
a= R*sqrt(3)

Pole podstawy ostrosłupa:
P=a^2*sqrt(3)/4 , czyli po podstawieniu a=R*sqrt(3):
P=(3*sqrt(3)*R^2)/4

Ze wzoru na objętość walca wyznaczamy H:
H=V/(Pi*R^2)

Teraz możemy wyliczyć objętość ostrosłupa:

V1=1/3*[(3*sqrt(3)*R^2)/4]*[V/(Pi*R^2)]

Po przekształceniu mamy:

V1=V*sqrt(3)/(4*Pi)

[marshal]

Z treści zadania wynika, że musi to być ostrosłup prawidłowy trójkątny, czyli jego podstawą jest trójkąt równoboczny (innej możliwości nie ma!).

no nie zgodze sie....

przeciez w okrag mozesz wpisac dowolny trojkat i tak poprowadzic krawedzie boczne zeby zbiegaly sie w wierzcholku S bedacym jednoczesnie srodkiem gornej podstawy walca...

W tresci zadania nie ma nic wspomnianego o tym ze ostroslup ma byc prawidlowy or somethin'

[Yavien]

Na moje wyczucie zadanie jest niedokladnie przepisane. Moze w podstawie jest trojkat rownoramienny? bo to

trojkatem o kącie alfa miedzy ramionami

by na to wskazywalo...
wowczas zadanie juz sie daje rozwiazac. Mamy dane tylko V - objetosc walca i alfa - rozwartosc pomiedzy ramionami trojkata rownoramiennego bedacego podstawa ostroslupa. Mamy wyrazic objetosc ostroslupa jako funkcje V i alfa.

Niech ABCS - ostroslup o podstawie trojkatnej ABC (trojkat rownoramienny wpisany w dany walec), S - srodek drugiej podstawy walca.
niech CB = a - podstawa trojkata ABC, AC=BC = b - ramiona, katBAC= alfa. Promien podstawy walca =R
trojkat ABD (D - spodek wysokosci trojkata ABC, BD = CD = a/2) jest prostokatny, kat DAB = alfa/2
sin(alfa/2) = (a/2)/b stad a = 2bsin(alfa/2)
z twierdzenia sinusow: a/sin(alfa) = 2R
czyli 2bsin(alfa/2)/sin(alfa) = 2R stad b = Rsin(alfa)/sin(alfa/2)

Pole trojkata ABC:
P(ABC) = b^2*sin(alfa)/2 = R^2sin^3(alfa)/2sin^2(alfa/2)

Objetosc walca V = PI*R^2*H (H- wysokosc walca i rownoczesnie wysokosc ostroslupa)

Objetosc ostroslupa ABCS:
V(ABCS) = (1/3)*P(ABC)*H = (1/6)*sin^3(alfa)*R^2*H/sin^2(alfa/2)
czyli w koncu
V(ABCS) = V*sin^3(alfa)/(6sin^2(alfa/2))

[hyhy:)]

przepraszam rownoramenny !

[marshal]

taki szczegolik