Krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość a.Najdłuższa przekątna graniastosłupa jest cztery razy dłuższa od najkrótszej przekątnej podstawy. Oblicz objętość graniastosłupa.
Pomoże ktoś??
zadanie ze stereometri
-
Sulik
- Użytkownik
- Posty: 161
- Rejestracja: 1 lis 2005, o 11:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 44 razy
zadanie ze stereometri
\(\displaystyle{ d_1}\) - najkrótsza przekątna podstawy
\(\displaystyle{ d_2}\) - najdłuższa przekątna podstawy
\(\displaystyle{ d}\) - najdłuższa przekątna graniastosłupa, \(\displaystyle{ d=4d_1}\)
Sześciokąt foremny można podzielić na 6 trójkątów równobocznych, wtedy widać od razu, że \(\displaystyle{ d_1=2\cdot\frac{\sqrt3a}{2}=\sqrt3a}\) oraz \(\displaystyle{ d_2=2a}\).
Z twierdzenia pitagorasa mamy \(\displaystyle{ d^2 = h^2 + d_2^2}\), czyli:
\(\displaystyle{ (4d_1)^2=h^2 + d_2^2}\)
\(\displaystyle{ (4\sqrt3a)^2 = h^2 + (2a)^2}\)
\(\displaystyle{ h^2 = 44a^2}\)
\(\displaystyle{ h=\sqrt{44}a=2\sqrt{11}a}\)
\(\displaystyle{ V=P_p\cdot h=6\frac{a^2\sqrt3}{4}\cdot2\sqrt{11}a=3\sqrt{33}a^3}\)
\(\displaystyle{ d_2}\) - najdłuższa przekątna podstawy
\(\displaystyle{ d}\) - najdłuższa przekątna graniastosłupa, \(\displaystyle{ d=4d_1}\)
Sześciokąt foremny można podzielić na 6 trójkątów równobocznych, wtedy widać od razu, że \(\displaystyle{ d_1=2\cdot\frac{\sqrt3a}{2}=\sqrt3a}\) oraz \(\displaystyle{ d_2=2a}\).
Z twierdzenia pitagorasa mamy \(\displaystyle{ d^2 = h^2 + d_2^2}\), czyli:
\(\displaystyle{ (4d_1)^2=h^2 + d_2^2}\)
\(\displaystyle{ (4\sqrt3a)^2 = h^2 + (2a)^2}\)
\(\displaystyle{ h^2 = 44a^2}\)
\(\displaystyle{ h=\sqrt{44}a=2\sqrt{11}a}\)
\(\displaystyle{ V=P_p\cdot h=6\frac{a^2\sqrt3}{4}\cdot2\sqrt{11}a=3\sqrt{33}a^3}\)