Ostrosłup prawidłowy o podstawie ośmiokąta.

[disassociative]

podstawą ostrosłupa prawidłowego jest ośmiokąt. oblicz objętość tego ostrosłupa wiedząc, że jego krawędź boczna ma długość 10 cm, a kąt między krawędzią boczną a płaszczyzną podstawy ma miarę pi/6.

[Justka]

Ok. Korzystając z podanego kąta i długości krawędzi mamy, że promień kręgu opisanego na podstawie jest równy:
\(\displaystyle{ r=cos\frac{\pi}{6}\cdot 10=5\sqrt{3}}\) oraz, że wysokosc jest równa: \(\displaystyle{ H=sin\frac{\pi}{6}\cdot 10=5}\).
Do obliczenia objetości brakuje nam tylko \(\displaystyle{ P_p}\):
Pole osmiokata obliczymy ze wzoru \(\displaystyle{ P_p=2(1+\sqrt{2})a^2}\), gdzie "a" bok ośmiokata, czyli: \(\displaystyle{ a^2=r^2+r^2-2r^2cos \frac{\pi}{4} \iff a^2=150(1-\frac{\sqrt{2}}{2})}\)(tw. cosinusów)

Reasumując:
\(\displaystyle{ V=\frac{1}{3}P_pH \\
P_p=2(1+\sqrt{2})\cdot 150(1-\frac{\sqrt{2}}{2}) \\
H=5 \\
V=500(1+\sqrt{2})(1-\frac{\sqrt{2}}{2})}\)

[disassociative]

powinno wyjść \(\displaystyle{ V=250\sqrt{2}cm ^{3}}\) takze cos nie halo... :>

[Justka]

Wszystko jest w porządku.
\(\displaystyle{ V=500(1+\sqrt{2})(1-\frac{\sqrt{2}}{2})=500\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=250\sqrt{2}}\)
:]

[disassociative]

faktycznie

dziękuję bardzo za pomoc