Sześcian
Sześcian
Na sześcianie o krawędzi 6cm od każdego wierzchołka odmierzono na krawędziach odcinki po 2cm, a następnie ich końce połączono odcinkami i powstałe w ten sposób naroża odcięto. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość powstałej bryły.
-
arrgghh
- Użytkownik
- Posty: 32
- Rejestracja: 9 maja 2008, o 21:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wysoka /k. Łańcuta
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 10 razy
Sześcian
Chyba prosto wyobrazić sobie jak bryła będzie wyglądała: (jak gdyby "na planie" sześcianu) 6 ścian, będących ośmiokątami o boku 2 (skoro bok sześcianu wynosił 6 i od obydwu wierzchołków leżących przy tej samej krawędzi odejmiemy po 2 cm - zostaje nam 2 cm), oraz 8 trójkątów równobocznych o boku \(\displaystyle{ 2\sqrt{2}}\) (łatwo obliczyć ze wzoru na przekątną kwadratu: \(\displaystyle{ a \sqrt{2}}\) ).
Zatem przyjmując:
\(\displaystyle{ P _{c}}\)- powierzchnia całkowita
\(\displaystyle{ P _{b}}\) - Powierzchnia boku zawierająca nasz ośmiokąt
\(\displaystyle{ P _{tn}}\) - Powierzchnia trójkąta powstałego po odcięciu narożnika
Mamy oczywiście: \(\displaystyle{ P _ {c} = 6 P _ {b} + 8 P _ {tn}}\)
Powierzchnię ośmiokąta policzymy ze wzoru: \(\displaystyle{ 2(1+ \sqrt{2})a^2}\) (Odsyłam do Wikipedii - hasło "ośmiokąt")
\(\displaystyle{ P _ {b} = 2(1+\sqrt{2})2^2 = (2 + 2\sqrt{2})4 = 8 + 8\sqrt{2}}\)
Powierzchnię trójkąta powstałego po odcięciu narożnika obliczamy ze wzoru na pole trójkąta równobocznego: \(\displaystyle{ \frac{a^2\sqrt{3}}{4}}\) (Odsyłam do Wikipedii - hasło "trójkąt równoboczny")
\(\displaystyle{ P _ {tn} = \frac{(2\sqrt{2})^2\sqrt{3}}{4} =\frac{8\sqrt{3}}{4} = 2\sqrt{3}}\)
Zatem
\(\displaystyle{ P _ {c} = 6(8+8\sqrt{2}) + 8(2\sqrt{3}) = 48+48\sqrt{2}+16\sqrt{3} = 8(3+3\sqrt{2}+\sqrt{3})}\)
Mamy obliczoną powierzchnię całkowitą.
Przyjmując:
\(\displaystyle{ V _ {b}}\) - objętość bryły
\(\displaystyle{ V _ {s}}\) - objętość sześcianu
\(\displaystyle{ V _ {n}}\) - objętość jednego odciętego narożnika
Zachodzi:
\(\displaystyle{ V_ {b} = V _ {s} - 8 V_ {n}}\)
Ze wzoru na objętość sześcianu \(\displaystyle{ V=a^3}\):
\(\displaystyle{ V _ {s} = 216 cm^3}\)
Odcięte narożniki to ostrosłupy trójkątne. (\(\displaystyle{ V=\frac{1}{3}*H*P_{p}}\))
\(\displaystyle{ P_{p} = \frac{1}{2}*2*2 = 2 cm^2}\)
\(\displaystyle{ H = 2cm}\)
\(\displaystyle{ V _ {n} = \frac{1}{3}*2*2 = \frac{4}{3}cm^3}\)
I ostatecznie:
\(\displaystyle{ V_{b} = 216cm^3 - 8*\frac{4}{3} cm^3 = 205\frac{1}{3} cm^3}\)
Odpowiedź: Pole powierzchni całkowitej tej bryły wynosi \(\displaystyle{ 8(3+3\sqrt{2}+\sqrt{3})}\), a objętość \(\displaystyle{ 205\frac{1}{3} cm^3}\).
Zatem przyjmując:
\(\displaystyle{ P _{c}}\)- powierzchnia całkowita
\(\displaystyle{ P _{b}}\) - Powierzchnia boku zawierająca nasz ośmiokąt
\(\displaystyle{ P _{tn}}\) - Powierzchnia trójkąta powstałego po odcięciu narożnika
Mamy oczywiście: \(\displaystyle{ P _ {c} = 6 P _ {b} + 8 P _ {tn}}\)
Powierzchnię ośmiokąta policzymy ze wzoru: \(\displaystyle{ 2(1+ \sqrt{2})a^2}\) (Odsyłam do Wikipedii - hasło "ośmiokąt")
\(\displaystyle{ P _ {b} = 2(1+\sqrt{2})2^2 = (2 + 2\sqrt{2})4 = 8 + 8\sqrt{2}}\)
Powierzchnię trójkąta powstałego po odcięciu narożnika obliczamy ze wzoru na pole trójkąta równobocznego: \(\displaystyle{ \frac{a^2\sqrt{3}}{4}}\) (Odsyłam do Wikipedii - hasło "trójkąt równoboczny")
\(\displaystyle{ P _ {tn} = \frac{(2\sqrt{2})^2\sqrt{3}}{4} =\frac{8\sqrt{3}}{4} = 2\sqrt{3}}\)
Zatem
\(\displaystyle{ P _ {c} = 6(8+8\sqrt{2}) + 8(2\sqrt{3}) = 48+48\sqrt{2}+16\sqrt{3} = 8(3+3\sqrt{2}+\sqrt{3})}\)
Mamy obliczoną powierzchnię całkowitą.
Przyjmując:
\(\displaystyle{ V _ {b}}\) - objętość bryły
\(\displaystyle{ V _ {s}}\) - objętość sześcianu
\(\displaystyle{ V _ {n}}\) - objętość jednego odciętego narożnika
Zachodzi:
\(\displaystyle{ V_ {b} = V _ {s} - 8 V_ {n}}\)
Ze wzoru na objętość sześcianu \(\displaystyle{ V=a^3}\):
\(\displaystyle{ V _ {s} = 216 cm^3}\)
Odcięte narożniki to ostrosłupy trójkątne. (\(\displaystyle{ V=\frac{1}{3}*H*P_{p}}\))
\(\displaystyle{ P_{p} = \frac{1}{2}*2*2 = 2 cm^2}\)
\(\displaystyle{ H = 2cm}\)
\(\displaystyle{ V _ {n} = \frac{1}{3}*2*2 = \frac{4}{3}cm^3}\)
I ostatecznie:
\(\displaystyle{ V_{b} = 216cm^3 - 8*\frac{4}{3} cm^3 = 205\frac{1}{3} cm^3}\)
Odpowiedź: Pole powierzchni całkowitej tej bryły wynosi \(\displaystyle{ 8(3+3\sqrt{2}+\sqrt{3})}\), a objętość \(\displaystyle{ 205\frac{1}{3} cm^3}\).