Jak wyznaczyć wszystkie prostopadłościany takie,że długości ich krawędzi są liczbami całkowitymi i liczba wyrażająca ich pole powierzchni całkowitej jest równa liczbie wyrażającej sumę długości ich krawędzi ?
prostopadłościany
-
soliter
- Użytkownik
- Posty: 195
- Rejestracja: 13 paź 2005, o 17:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Jelenia Góra
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 28 razy
prostopadłościany
a,b,c - boki
Musimy wyznaczyć wszystkie naturalne pierwiastki równania:
\(\displaystyle{ 2(ab+ac+bc)=4(a+b+c)}\)
Zauważamy, że:
\(\displaystyle{ [2(ab+ac+bc)=4(a+b+c)]\Leftrightarrow[(ab+ac+bc)=2(a+b+c)]\Leftrightarrow \\
[(ab-a-b+1)+(ac-a-c+1)+(bc-b-c+1)=3]\Leftrightarrow [(a-1)(b-1)+(a-1)(c-1)+(b-1)(c-1)=3]}\)
Bez straty ogólności możemy założyć, że \(\displaystyle{ a\leq b\leq c}\)
Dla a=1 Otrzymujemy: \(\displaystyle{ (b-1)(c-1)=3}\) Skąd b=2 i c=4
Zauważamy że gdy a=2, to równanie przybiera postać: \(\displaystyle{ [3=(b-1)+(c-1)+(b-1)(c-1)]\Leftrightarrow [4=bc]}\) Skąd b=2 i c=2.
Dla a>2 lewa strona równania jest większa od 3.
Doszliśmy do konkluzji, iż jedynymi figurami spełniającymi warunki zadania są prostopadłościany od bokach długości 1,2,4 i 2,2,2.
Musimy wyznaczyć wszystkie naturalne pierwiastki równania:
\(\displaystyle{ 2(ab+ac+bc)=4(a+b+c)}\)
Zauważamy, że:
\(\displaystyle{ [2(ab+ac+bc)=4(a+b+c)]\Leftrightarrow[(ab+ac+bc)=2(a+b+c)]\Leftrightarrow \\
[(ab-a-b+1)+(ac-a-c+1)+(bc-b-c+1)=3]\Leftrightarrow [(a-1)(b-1)+(a-1)(c-1)+(b-1)(c-1)=3]}\)
Bez straty ogólności możemy założyć, że \(\displaystyle{ a\leq b\leq c}\)
Dla a=1 Otrzymujemy: \(\displaystyle{ (b-1)(c-1)=3}\) Skąd b=2 i c=4
Zauważamy że gdy a=2, to równanie przybiera postać: \(\displaystyle{ [3=(b-1)+(c-1)+(b-1)(c-1)]\Leftrightarrow [4=bc]}\) Skąd b=2 i c=2.
Dla a>2 lewa strona równania jest większa od 3.
Doszliśmy do konkluzji, iż jedynymi figurami spełniającymi warunki zadania są prostopadłościany od bokach długości 1,2,4 i 2,2,2.