Zadania z ostroslupami

[Adamusos]

1) Jedna z krawedzi ostroslupa trojkoatnego ma dlugosc 2, a pozostale 4 . Oblicz objetosc ostroslupa.

2)Podstawa ostroslupa jest trojkat rownoramienny, w ktorym boki rowne maja dlugosc \(\displaystyle{ b}\) , a kat miedzy nimi zawarty jest rowny \(\displaystyle{ \alpha}\). Oblicz objetosc ostroslupa jesli kazda krawedz boczna tworzy z wysokoscia ostroslupa kat \(\displaystyle{ \beta}\)

3) Kazda z krawedzi bocznych ostroslupa tworzy z plaszczyzna podstawy kat \(\displaystyle{ \alpha}\). Podstawa ostroslupa jest trojkat prostokatny o przeciwprostokatnej \(\displaystyle{ 2c}\) i kacie ostrym \(\displaystyle{ \beta}\). Oblicz objetosc ostroslupa

[anibod]

2)
Podstawa trójkąt równoramienny:
Z tw. cosinusów wyznaczasz ; \(\displaystyle{ a^{2}=b^{2}+b^{2}-2b^{2}\cos\alpha a=b\sqrt{2-2\cos\alpha}}\)
Pole podstawy \(\displaystyle{ P_{p}=\frac{1}{2} b b\cdot \sin\alpha= \frac{1}{2}b^{2}\sin\alpha}\)
Z drugiej strony \(\displaystyle{ P_{p}=\frac{a\cdot b b}{4R} =\frac{ab^{2}}{4R}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}b^{2}\sin\alpha=\frac{ab^{2}}{4R} R=\frac{b\sqrt{2-2\cos\alpha}}{2\sin\alpha}}\)
gdzie R -promień okręgu opisanego na trójkącie równoramiennym, środek okręgu jest spodkiem wysokości H ostrosłupa
Ostrosłup:
\(\displaystyle{ \ctg\beta= \frac{H}{R} H=R\ctg\beta}\)
Zatem \(\displaystyle{ H= \frac{b\sqrt{2-2\cos\alpha}}{2\sin\alpha} \ctg\beta}\)

Więc \(\displaystyle{ V=\frac{1}{3}P_{p} H V=\frac{b^{3}\sqrt{2-2\cos\alpha}}{12}\cdot \ctg\beta}\)