krawędzie graniastosłupa prawidłowego czworokątnego
-
brida
- Użytkownik
- Posty: 48
- Rejestracja: 2 paź 2008, o 19:50
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: dziki zachód
- Podziękował: 6 razy
krawędzie graniastosłupa prawidłowego czworokątnego
suma długości krawędzi graniastosłupa prawidłowego czworokątnego wynosi 96dm. Jaką długość powinny mieć krawędzie tego graniastosłupa, aby jego powierzchnia była największa?
-
anibod
- Użytkownik
- Posty: 188
- Rejestracja: 12 wrz 2008, o 10:27
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Sulejówek
- Pomógł: 58 razy
krawędzie graniastosłupa prawidłowego czworokątnego
oznaczenia: a - długość krawędzi podstawy, H- długość wysokości graniastosłupa, gdzie \(\displaystyle{ a,H \in R^{+}}\)
Pole powierzchni \(\displaystyle{ P=2P_{p}+P_{b}=2a^{2}+4aH}\)
Z warunków zadania mamy: \(\displaystyle{ 8a+4H=96 \Rightarrow H=24-2a}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ a>0 \ i \ H>0}\) więc \(\displaystyle{ (24-2a>0 \wedge a>0) a (0,12)}\)
Zatem
\(\displaystyle{ P(a)=2a^{2}+4a(24-2a)=2a^{2}+96a-8a^{2}=96a-6a^{2}}\)
\(\displaystyle{ P`(a) = 96-12a}\) i \(\displaystyle{ a (0,12)}\)
\(\displaystyle{ P`(a)=0 \ dla \ a=8}\)
Stąd \(\displaystyle{ P_{max}=P(8)}\), dla \(\displaystyle{ a=8 \ i \ H=8}\) powierzchnia graniastosłupa jest największa (jest to sześcian)
Pole powierzchni \(\displaystyle{ P=2P_{p}+P_{b}=2a^{2}+4aH}\)
Z warunków zadania mamy: \(\displaystyle{ 8a+4H=96 \Rightarrow H=24-2a}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ a>0 \ i \ H>0}\) więc \(\displaystyle{ (24-2a>0 \wedge a>0) a (0,12)}\)
Zatem
\(\displaystyle{ P(a)=2a^{2}+4a(24-2a)=2a^{2}+96a-8a^{2}=96a-6a^{2}}\)
\(\displaystyle{ P`(a) = 96-12a}\) i \(\displaystyle{ a (0,12)}\)
\(\displaystyle{ P`(a)=0 \ dla \ a=8}\)
Stąd \(\displaystyle{ P_{max}=P(8)}\), dla \(\displaystyle{ a=8 \ i \ H=8}\) powierzchnia graniastosłupa jest największa (jest to sześcian)