Stozek i kula

[Adamusos]

1) Stozek wpisany jest w kule o promieniu \(\displaystyle{ R}\). Jego tworzaca jest widoczna ze srodka kuli pod katem (alfa). Oblicz objetosc stozka.

2)Tworzaca stozka jest nachylona do podstawy pod katem (alfa). Kula opisana na tym stozku ma promien \(\displaystyle{ R}\). Oblicz pole calkowite stozka.

3)W kule wpisano dwa stozki o wspolnej podstawie, przy czym jeden z nich ma pole powierzchni bocznej trzy razy wieksze nic drugi. Oblicz stosunek dlugosci wysokosci tych stozkow.

[Justka]

2.
Korzystamy z tw. cosinusów:
\(\displaystyle{ l^2=R^2+R^2-2r^2cos2\alpha \\
l=R\sqrt{(2-2\cos2\alpha)}}\)
I z f. trygonometrycznych dla kąta \(\displaystyle{ \alpha}\):
\(\displaystyle{ r=\cos\alpha l \iff r=Rcos\alpha\sqrt{(2-2\cos2\alpha)}}\)
I pole:
\(\displaystyle{ P_c=\pi r(r+l) \\
P_c=\pi cos^2\alpha R^2(2-2cos2\alpha)+\pi cos\alpha R^2(2-2cos2\alpha) \\
P_c=\pi cos^2\alpha R^2(2-2(1-2sin^2\alpha)) +\pi cos\alpha R^2(2-2(1-2sin^2\alpha))\\
P_c=\pi cos^2\alpha R^2\cdot 4sin^2\alpha+\pi cos\alpha R^2\cdot 4sin^2\alpha\\
P_c=\pi R^2(sin2\alpha)^2+\pi R^2 sin2\alpha\cdot 2sin\alpha\\
P_c=\pi R^2sin2\alpha(sin2\alpha+2sin\alpha)}\)

[Grzegorz t]

1)

\(\displaystyle{ AB}\) i podstawa stożka
\(\displaystyle{ AC=BC}\) - tworząca stożka
\(\displaystyle{ O}\) - środek kuli opisanej na stożku
\(\displaystyle{ r}\) - promień stożka
\(\displaystyle{ K}\) - środek podstawy \(\displaystyle{ AB}\) stożka (na przekroju osiowym)
\(\displaystyle{ H=CK=OK+CK}\) - wysokość stożka
\(\displaystyle{ \sphericalangle COB= }\) - dany kąt

Trzeba rozpatrzyć try przypadki

1. \(\displaystyle{ \alpha (0, \frac{\pi}{2})}\)
2. \(\displaystyle{ \alpha=\frac{\pi}{2}}\)
3. \(\displaystyle{ \alpha (\frac{\pi}{2}, \pi)}\)

1. Po zrobieniu rysunku łatwo zauważyć, że \(\displaystyle{ \sphericalangle KOB=180-\alpha}\)
\(\displaystyle{ sin(180-\alpha)=\frac{r}{R} r=Rsin\alpha}\)
\(\displaystyle{ cos(180-\alpha)=\frac{OK}{OB} cos\alpha=\frac{OK}{R} OK=Rcos\alpha, H=OK+CK=R+Rcos\alpha=R(1+cos\alpha)=H}\)
Podstawić do wzoru na objętość stożka wyliczone \(\displaystyle{ r, H}\)

3 tutaj trzeba zrobić nieco inny rysunek, aby kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) był rozwarty. Podobnie wychodzi \(\displaystyle{ r=Rsin\alpha}\), natomiast inaczej wyjdzie wartość \(\displaystyle{ H=R(1-cos\alpha)}\) i podstawić to do wzoru na objętość stożka

2. Tutaj jest najprostszy przypadek, bo \(\displaystyle{ \alpha=90^{\circ}}\) i mamy \(\displaystyle{ r=R, H=R}\), podstawić do wzoru na obj. stożka

Pozdrawiam..