pole powierzchni bocznej stożka

[mateusz200414]

cześć

nie potrafię tego rozwiązać, licze na waszą pomoc:

1015. W kulę o promieniu r wpisano stożek. Wyraź pole powierzchni bocznej stożka w funkcji jego tworzącej x

pozdrawiam

[Grzegorz t]

No przecież oznaczmy sobie promień stożka przez \(\displaystyle{ k}\) zrób rysunek i zauważysz, że z twi. Pitagorasa
\(\displaystyle{ ( \sqrt{x^2-k^2}-r)^2+k^2=r^2 k= \sqrt{x^2-\frac{x^4}{4r^2}}}\)
Pole pow. bocznej stożka \(\displaystyle{ P_b=\pi\cdot \sqrt{x^2-\frac{x^4}{4r^2}}\cdot x}\) i tyle

[Ichiban]

\(\displaystyle{ x}\) - tworząca
\(\displaystyle{ r}\) - promień kuli
\(\displaystyle{ R}\) - promień podstawy stożka

\(\displaystyle{ P_b = \pi R x}\)

Rozpatrzymy przekrój poprzeczny przez środek kuli:

mamy trójkąt o polu:

\(\displaystyle{ P = \frac{2Rx^2}{4r} = \frac{Rx^2}{2r}}\)

(wzór \(\displaystyle{ P=\frac{abc}{4R}}\) gdzie \(\displaystyle{ R}\) to promień okręgo opisanego (jest to inne \(\displaystyle{ R}\) niż w zadaniu))

\(\displaystyle{ P = \frac{2Rh}{2} = Rh}\) (wzór na pole trójkąta \(\displaystyle{ P = \frac{ah}{2}}\))

\(\displaystyle{ Rh = \frac{Rx^2}{2r}}\)

\(\displaystyle{ h = \frac{x^2}{2r}}\)

\(\displaystyle{ x = \sqrt{R^2 + h^2}}\)

\(\displaystyle{ x^2 = R^2 + h^2}\)

\(\displaystyle{ R^2 = x^2 - h^2}\)

\(\displaystyle{ R = \sqrt{x^2 - h^2}}\)
\(\displaystyle{ R = \sqrt{x^2 - \frac{x^4}{4r^2}} =x \sqrt{1 - \frac{x^2}{4r^2}} = x \sqrt{\frac{4r^2-x^2}{4r^2}} = \frac{x\sqrt{4r^2-x^2}}{2r}}\)

Podstawiamy:

\(\displaystyle{ P_b = \pi \cdot \frac{x\sqrt{4r^2-x^2}}{2r} \cdot x = \frac{\pi x^2\sqrt{4r^2-x^2}}{2r}}\)

Pozostaje wyznaczyć dziedzinę:

Można się domyślić, że największa możliwa wartość R to 2r a najmniejsza to 0.

\(\displaystyle{ x \in (0, 2r)}\)

No ale wyznaczymy to.

\(\displaystyle{ \begin{cases} x>0\\4r^2-x^2>0\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x>0\\x^20\\x (0, 2r)}\)

Koniec