zadanie z prostopadłościanem.

[grzegorz475]

Witam proszę o pomoc w rozwiązaniu zadania. z drutu o długości 8 m chcemy zbudować model prostopadłościanu którego podstawa jest prospokątem o stosunku długości boków 2:1. Jakie wymiary powinnien mieć ten prostopadłościan aby jego objętość była najwięjsza?

[Zlodiej]

Wydaje mi się, że mnóstwo podobnych zadań było już robionych na forum.

Niech a,b,c będą długościami odpowiednio dwóch boków podstawy i wysokości prostopadłościanu.

Wiemy, że 4a+4b+4c=8 m. oraz, że 2a=b.

a+b+c=2
3a+c=2

Mamy funkcje \(\displaystyle{ f(x)=2a^2(2-3a)}\)

Wystarczy policzyć jej maksimum.

\(\displaystyle{ f(a)=-6a^3+4a^2}\)

\(\displaystyle{ f'(a)=-18a^2+8a=2a(-9a+4)}\)

Czyli \(\displaystyle{ a=\frac{4}{9}}\)

Reszte już łatwo policzyć ...

[grzegorz475]

A dlaczego takie równanie i taka funkcja?

[Zlodiej]

Wiemy, że a+b+c=2 oraz, że 2a=b. Podstawiasz i masz:

a+2a+c=2 czyli c=2-3a.

Wiemy, że objętość wyraza się wzorem: \(\displaystyle{ V=a\cdot b\cdot c}\) (pole podstawy razy wysokość).

Podstawiasz sobie do tego wzoru b i c i masz: \(\displaystyle{ V=2a\cdot a\cdot (2-3a)}\)

Czyli \(\displaystyle{ V=-6a^3+4a^2}\) Niech V będzie funkcją f(a). Liczysz jej pochodną aby znaleźć maksimum.

\(\displaystyle{ f'(a)=a(-18a+8)}\)

Zatem

\(\displaystyle{ a=\frac{4}{9}}\)

Sorki za mały błąd w zadaniu. Poprawiłem ...