Sześcian

[Agalloch]

a) Wykaż, że przekątna sześcianu o krawędzi \(\displaystyle{ a}\) ma długość \(\displaystyle{ a\sqrt{3}}\)

b) Przekątna sześcianu ma długość \(\displaystyle{ 3}\). Któa z wielkości: pole powierzchni całkowitej czy objętość, wyraża się liczbą niewymierną?

Z góry dzięki.

[smigol]

a) Wykaż, że przekątna sześcianu o krawędzi \(\displaystyle{ a}\) ma długość \(\displaystyle{ a\sqrt{3}}\)

przekątna podstawy to oczywiście:
\(\displaystyle{ a \sqrt{2}}\)
przekątna sześcianu, przekątna podstawy i wysokość, tworzą trójkąt prostokątny.
\(\displaystyle{ d ^{2} = ft(a \sqrt{2} \right) ^{2} + H ^{2}}\)
ale: \(\displaystyle{ H=a}\)
więc:
\(\displaystyle{ d ^{2}= 3a ^{2}}\)
\(\displaystyle{ d= a \sqrt{3}}\)
b/
\(\displaystyle{ d=3=a \sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ a= \frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ P _{c} = 6 a ^{2} = 6 3 = 18}\)
\(\displaystyle{ V= a ^{3} = 3\sqrt{3}}\)

[Agalloch]

Dzięki piękne :]