Prawidlowy ostroslup trojkatny

[Adamusos]

Prawidlowy ostroslup trojkatny o krawedzi podstawy \(\displaystyle{ a}\) i kacie nachylenia krawedzi bocznych do plaszczyzny podstawy \(\displaystyle{ B}\) (Beta), przecieto plaszczyzna przechodzaca przez krawedz podstawy pod katem \(\displaystyle{ A}\)(alfa). Oblicz pole \(\displaystyle{ S}\) otrzymanego przekroju i stosunek tego pola do pola podstawy

[Grzegorz t]

Wklejam rozwiązanie, bo przez przypadek natknąłem się na to zadanko

Wystarczy sobie tylko rozrysować ostrosłup, w przekroju otrzymujemy trójkąt równoramienny

\(\displaystyle{ h}\) wysokość trójkąta równoramiennego powstałego przez przecięcie płaszczyzną z zadania

Z twierdzenia sinusów (mamy trójkąt składający się z wysokości trójkąta równobocznego w podstawie, części krawędzi bocznej ostrosłupa i wysokości \(\displaystyle{ h}\) tr. równoramiennego) mamy: \(\displaystyle{ \frac{\frac{a \sqrt{3}}{2}}{sin[180-(\alpha+\beta)]}=\frac{h}{sin\beta} h=\frac{\frac{a \sqrt{3}}{2}\cdot sin\beta}{sin(\alpha+\beta)}}\)
Pole otrzymanego przekroju \(\displaystyle{ P=\frac{1}{4}\cdot a^2 \sqrt{3}\cdot \frac{sin\alpha}{sin(\alpha+\beta)}}\)
Stosunek tego pola do podstawy będzie równy \(\displaystyle{ \frac{sin\alpha)}{sin(\alpha+\beta)}}\)