długość krawędzi ostrosłupa n-kątnego

[tomusxs]

Witam,

otóż w ręce wpadło mi dzisiaj zadanie, z którym nie mogłem sobie niestety poradzić(no może z jednym podpunktem). No więc brzmi ono tak:

Objętość ostrosłupa prawidłowego n-kątnego jest równa 1. Oblicz długości wszystkich krawędzi tego ostrosłupa jeżeli:

n=4, a kąt między ścianami bocznymi o wspólnej krawędzi jest 2 razy większy od kąta między podstawą, a ścianą boczną.



rozrysowałem to, próbowałem znaleźć podobieństwa trójkątów w tym ostrosłupie, jednak nie mogę znaleźć takiego, które by dało mi jakąkolwiek długość krawędzi.


Macie jakiś pomysł?

Pozdrawiam
Tomek

[Grzegorz t]

\(\displaystyle{ a}\) - długość krawędzi podstawy ostrosłupa
\(\displaystyle{ h}\) - wysokość ściany bocznej ostrosłupa
\(\displaystyle{ H}\) - wysokość ostrosłupa
\(\displaystyle{ \alpha}\) - kąt między podstawą a ścianą boczną
\(\displaystyle{ h_1}\) - długość krawędzi podstawy
\(\displaystyle{ K}\) - długość drugiej wysokości ściany bocznej, jest ona prostopadła do krawędzi bocznej ostrosłupa.
\(\displaystyle{ L}\) - długość krawędzi bocznej ostrosłupa
Zrób ładny rysunek, z zadania mamy \(\displaystyle{ a^2\cdot H =3 a^4\cdot H^2=9}\)
Wypiszę teraz kilka zależności zachodzących w ostrosłupie
\(\displaystyle{ h=\frac{a}{2cos\alpha}}\)
\(\displaystyle{ K=\frac{a\sqrt{2}}{2sin\alpha}}\)
\(\displaystyle{ L=\frac{a}{2cos\alpha} \sqrt{1+cos^2\alpha}}\)
\(\displaystyle{ H^2+\frac{a^2}{2}=\frac{a^2(1+cos^2\alpha}{4cos^2\alpha}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\cdot \frac{a \sqrt{2}}{2sin\alpha}\cdot \frac{a \sqrt{1+cos^2\alpha}}{2cos\alpha}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot \frac{a}{2cos\alpha} \frac{ \sqrt{2+2cos^2\alpha} }{4sin\alpha}=\frac{1}{2} sin\alpha=sin\alpha= \sqrt{ \frac{2}{3} }}\).........................................
i dalej próbować coś wyliczyć
pozdrawiam