Dany jest ostrosłup
Dany jest ostrosłup
Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny którego krawędź podastawy ma długość 8cm ,a wysokość 12cm Rozważamy wszystkie prostopadłościany których jedna z podstaw jest zawarta w podstawie ostrosłupa ,a wierzchołki przeciwległej podstawy należą do krawędzi bocznych ostrosłupa. Znajdź te wymiary tego z rozważanych prostopadłościanów który ma nawiększą objętość .
-
DoMini1606
- Użytkownik
- Posty: 29
- Rejestracja: 17 sty 2008, o 18:39
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Racibórz
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 7 razy
Dany jest ostrosłup
Ponieważ wpisujemy prostopadłościan w ostrosłup prawidłowy czworokątny, prostopadłościan ten także będzie mieć w podstawie kwadrat. A zatem objętość tego prostopadłościanu możemy wyrazić poprzez \(\displaystyle{ V=a^2 b}\), gdzie a to krawędź podstawy prostopadłościanu, a b, to jego wysokość.
Musimy uzależnić b od a.
Z twierdzenia Talesa dla ściany bocznej ostrosłupa mamy: \(\displaystyle{ \frac{4}{h} = \frac{ \frac{1}{2}a }{h-b}}\), gdzie h to wysokość ściany bocznej ostrosłupa.
A zatem \(\displaystyle{ b= h- \frac{1}{8} ah}\).
Z twierdzenia Pitagorasa: \(\displaystyle{ h= \sqrt{12^2+4^2} =4 \sqrt{10}}\).
A zatem \(\displaystyle{ b=4 \sqrt{10} - \frac{1}{2} \sqrt{10} a}\).
Wówczas objętość prostopadłościanu przyjmie postać \(\displaystyle{ V=a^2 ft(4 \sqrt{10} - \frac{1}{2} \sqrt{10} a \right)}\).
Aby wyznaczyć największą wartość tej objętości (funkcji V(a)), musimy obliczyć pochodną funkcji V(a).
\(\displaystyle{ V'(a)= a \sqrt{10} ft( 8- \frac{3}{2}a \right)}\)
\(\displaystyle{ a \sqrt{10} ft( 8- \frac{3}{2}a \right)=0}\)
a=0 lub \(\displaystyle{ a=5 \frac{1}{3}}\).
Ponieważ jednak \(\displaystyle{ a ft(0,8 \right)}\), to funkcja osiąga maksimum lokalne dla \(\displaystyle{ a=5 \frac{1}{3}}\). Czyli dla takiego a prostopadłościan będzie mieć największą możliwą objętość. Wóczas \(\displaystyle{ b=1 \frac{1}{3} \sqrt{10}}\). I już mamy rozwiązanie
Musimy uzależnić b od a.
Z twierdzenia Talesa dla ściany bocznej ostrosłupa mamy: \(\displaystyle{ \frac{4}{h} = \frac{ \frac{1}{2}a }{h-b}}\), gdzie h to wysokość ściany bocznej ostrosłupa.
A zatem \(\displaystyle{ b= h- \frac{1}{8} ah}\).
Z twierdzenia Pitagorasa: \(\displaystyle{ h= \sqrt{12^2+4^2} =4 \sqrt{10}}\).
A zatem \(\displaystyle{ b=4 \sqrt{10} - \frac{1}{2} \sqrt{10} a}\).
Wówczas objętość prostopadłościanu przyjmie postać \(\displaystyle{ V=a^2 ft(4 \sqrt{10} - \frac{1}{2} \sqrt{10} a \right)}\).
Aby wyznaczyć największą wartość tej objętości (funkcji V(a)), musimy obliczyć pochodną funkcji V(a).
\(\displaystyle{ V'(a)= a \sqrt{10} ft( 8- \frac{3}{2}a \right)}\)
\(\displaystyle{ a \sqrt{10} ft( 8- \frac{3}{2}a \right)=0}\)
a=0 lub \(\displaystyle{ a=5 \frac{1}{3}}\).
Ponieważ jednak \(\displaystyle{ a ft(0,8 \right)}\), to funkcja osiąga maksimum lokalne dla \(\displaystyle{ a=5 \frac{1}{3}}\). Czyli dla takiego a prostopadłościan będzie mieć największą możliwą objętość. Wóczas \(\displaystyle{ b=1 \frac{1}{3} \sqrt{10}}\). I już mamy rozwiązanie