Znowu utknołem. Tym razem na takim zadaniu:
W kulę o promieniu długości R wpisano walec o największej objętości. Wyznacz stosunek objętości kuli do objętości tego walce.
Niemam żadnej koncepcji jak to ugryźć.
Walec w kuli
-
bedbet
- Użytkownik
- Posty: 2530
- Rejestracja: 15 mar 2008, o 22:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lublin
- Podziękował: 47 razy
- Pomógł: 248 razy
Walec w kuli
W tego typu zadaniach bardzo łatwo o pomyłkę!
Po pierwsze:
Stwierdzenie: "walec o największej objętości, to taki, którego przekrój osiowy jest kwadratem" jest przede wszystkim nie dopowiedziane. Tak naprawdę, walec o największej objętości to walec o nieskończonej objętości. Dopiero nakładając jakieś ograniczenia typu: "Dany jest walec, którego długość przekątnej przekroju osiowego jest stała i wynosi \(\displaystyle{ a}\)" możemy określać jaki jest wzór na jego największą objętość \(\displaystyle{ V_{max}}\), jaki jest stosunek wysokości \(\displaystyle{ h}\) tego walca do długości promienia \(\displaystyle{ r}\) podstawy przy jego największej możliwej objętości (i ustalonej wielokości \(\displaystyle{ a}\)) itp.
Po drugiee:
Należy pamiętać, że każdy przypadek należy rozpatrywać osobno, tj. wiedząc np. jaki jest przekrój osiowy walca przy jego najwiekszej możliwej objętości i ustalonej wspomnianej wcześniej wartości \(\displaystyle{ a}\), nic nie możemy powiedzieć o jego przekroju osiowym jesli tym razem będziemy mieli dane jego całkowite pole powierzchni \(\displaystyle{ P_p}\) przy największej możliwej objętości.
W przypadku tego zadania również zakładamy jak największą objętość naszego walca, który wpisany jest w kule o stałym promieniu \(\displaystyle{ R}\). Z przekroju osiowego mamy następujące zależności:
\(\displaystyle{ R^2=(\frac{h}{2})^2+r^2}\)
\(\displaystyle{ r^2=R^2-\frac{h^2}{4}}\)
Wstawiamy wyliczoną wartość \(\displaystyle{ r^2}\) do wzoru na objętość walca \(\displaystyle{ V=\pi r^2h}\) i otrzymujemy:
\(\displaystyle{ V=\pi(R^2-\frac{h^2}{4})h}\)
\(\displaystyle{ V=-\frac{1}{4}\pi h^3+\pi R^2h}\)
Mamy zatem objętość naszego walca wyrażoną jako funkcje wysokości, możemy więc zapisać:
\(\displaystyle{ V(h)=-\frac{1}{4}\pi h^3+\pi R^2h}\)
Musimy teraz zbadać ekstremum tej funkcji dla \(\displaystyle{ h>0}\), zatem:
\(\displaystyle{ V^{'}(h)=-\frac{3}{4}\pi h^2+\pi R^2=0 \iff h^2=\frac{4}{3}R^2}\), zatem \(\displaystyle{ h=\frac{2}{\sqrt{3}}R}\) jest punktem, w którym funkcja \(\displaystyle{ V(h)}\) przyjmuje maksimum. Mamy więc:
\(\displaystyle{ V_{max}=\pi(R^2-\frac{\frac{4}{3}R^2}{4})\frac{2}{\sqrt{3}}R=\pi(\frac{2}{3}R^2)\frac{2}{\sqrt{3}}R=\frac{4}{3\sqrt{3}}\pi R^3}\)
Ostatecznie szukany stosunek wynosi:
\(\displaystyle{ \frac{V_k}{V_s}=\frac{\frac{4}{3}\pi R^3}{\frac{4}{3\sqrt{3}}\pi R^3}=\sqrt{3}}\)
P.S. Dla przećwiczenia polecam wyliczyć dla walca o największej możliwej objętości wartości:
\(\displaystyle{ \frac{h}{r}}\) przy ustalonym \(\displaystyle{ a}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{h}{r}}\) przy ustalonym \(\displaystyle{ P_p}\).
Po pierwsze:
Stwierdzenie: "walec o największej objętości, to taki, którego przekrój osiowy jest kwadratem" jest przede wszystkim nie dopowiedziane. Tak naprawdę, walec o największej objętości to walec o nieskończonej objętości. Dopiero nakładając jakieś ograniczenia typu: "Dany jest walec, którego długość przekątnej przekroju osiowego jest stała i wynosi \(\displaystyle{ a}\)" możemy określać jaki jest wzór na jego największą objętość \(\displaystyle{ V_{max}}\), jaki jest stosunek wysokości \(\displaystyle{ h}\) tego walca do długości promienia \(\displaystyle{ r}\) podstawy przy jego największej możliwej objętości (i ustalonej wielokości \(\displaystyle{ a}\)) itp.
Po drugiee:
Należy pamiętać, że każdy przypadek należy rozpatrywać osobno, tj. wiedząc np. jaki jest przekrój osiowy walca przy jego najwiekszej możliwej objętości i ustalonej wspomnianej wcześniej wartości \(\displaystyle{ a}\), nic nie możemy powiedzieć o jego przekroju osiowym jesli tym razem będziemy mieli dane jego całkowite pole powierzchni \(\displaystyle{ P_p}\) przy największej możliwej objętości.
W przypadku tego zadania również zakładamy jak największą objętość naszego walca, który wpisany jest w kule o stałym promieniu \(\displaystyle{ R}\). Z przekroju osiowego mamy następujące zależności:
\(\displaystyle{ R^2=(\frac{h}{2})^2+r^2}\)
\(\displaystyle{ r^2=R^2-\frac{h^2}{4}}\)
Wstawiamy wyliczoną wartość \(\displaystyle{ r^2}\) do wzoru na objętość walca \(\displaystyle{ V=\pi r^2h}\) i otrzymujemy:
\(\displaystyle{ V=\pi(R^2-\frac{h^2}{4})h}\)
\(\displaystyle{ V=-\frac{1}{4}\pi h^3+\pi R^2h}\)
Mamy zatem objętość naszego walca wyrażoną jako funkcje wysokości, możemy więc zapisać:
\(\displaystyle{ V(h)=-\frac{1}{4}\pi h^3+\pi R^2h}\)
Musimy teraz zbadać ekstremum tej funkcji dla \(\displaystyle{ h>0}\), zatem:
\(\displaystyle{ V^{'}(h)=-\frac{3}{4}\pi h^2+\pi R^2=0 \iff h^2=\frac{4}{3}R^2}\), zatem \(\displaystyle{ h=\frac{2}{\sqrt{3}}R}\) jest punktem, w którym funkcja \(\displaystyle{ V(h)}\) przyjmuje maksimum. Mamy więc:
\(\displaystyle{ V_{max}=\pi(R^2-\frac{\frac{4}{3}R^2}{4})\frac{2}{\sqrt{3}}R=\pi(\frac{2}{3}R^2)\frac{2}{\sqrt{3}}R=\frac{4}{3\sqrt{3}}\pi R^3}\)
Ostatecznie szukany stosunek wynosi:
\(\displaystyle{ \frac{V_k}{V_s}=\frac{\frac{4}{3}\pi R^3}{\frac{4}{3\sqrt{3}}\pi R^3}=\sqrt{3}}\)
P.S. Dla przećwiczenia polecam wyliczyć dla walca o największej możliwej objętości wartości:
\(\displaystyle{ \frac{h}{r}}\) przy ustalonym \(\displaystyle{ a}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{h}{r}}\) przy ustalonym \(\displaystyle{ P_p}\).