Pole powierzchni stożka i kuli

[wnoros89]

Pole powierzchni całkowitej stożka jest dwa razy większe od pola powierzchni kuli wpisanej w ten stożek. Wyznacz cosinus kąta nachylenia tworzącej stożka do płaszczyzny podstawy

[Justka]

r- promień podstawy stożka
l- tworząca stożka
R- promień kuli wpisanej w stożek

Pole całkowite stożka jest równe: \(\displaystyle{ P_1=\pi r(r+l)}\), a promień kuli wpisanej \(\displaystyle{ R=\frac{r\sqrt{l^2-r^2}}{r+l}}\). Więc jej pole wynosi : \(\displaystyle{ P_2=4\pi R^2=4\pi \frac{r^2(l^2-r^2)}{(r+l)^2}}\).

Z zadania wiemy, że \(\displaystyle{ P_1=2P_2}\), rozwiązując to równanie dochodzimy do postaci:
\(\displaystyle{ 9r^2-6rl+l^2=0}\), czyli
\(\displaystyle{ \Delta=0 \iff r=\frac{1}{3} l=1}\)

Zatem:
\(\displaystyle{ cos =\frac{r}{l}=\frac{1}{3}}\)
;]

[nuska]

Jest szansa, że dowiem się, skąd wziął się promień kuli wpisanej?;)

[piasek101]

Jest szansa, że dowiem się, skąd wziął się promień kuli wpisanej?;)

Przekrój osiowy i podobieństwo trójkątów - wyjdzie to samo w nieco innej postaci.