Graniastosłupy, ostrosłupy

[tojatakjest]

1. w graniastosłupie czworokątnym prawidłowym przekątna podstawy ma długość p=16, a przekątna graniastosłupa d jest nachylona do podstawy pod kątem 30 stopni. oblicz pole całkowite oraz objetość graniastosłupa

[lukasz1804]

Oznaczmy: \(\displaystyle{ a}\) - krawędź podstawy, \(\displaystyle{ h}\) - wysokość graniastosłupa (krawędź boczna).
Ze wzoru na przekątną kwadratu mamy \(\displaystyle{ p=a\sqrt{2}}\), skąd \(\displaystyle{ a=\frac{p\sqrt{2}}{2}=8\sqrt{2}}\).
Z definicji tangensa kąta ostrego w trójkącie prostokątnym utworzonym przez odcinki d,h,p mamy \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{3}}{3}=tg 30^{o}=\frac{h}{p}}\), czyli \(\displaystyle{ h=\frac{p\sqrt{3}}{3}=\frac{16\sqrt{3}}{3}}\).
Ze wzoru na objętość granistosłupa dostajemy \(\displaystyle{ V=a^2h=\frac{64\cdot 2\cdot 16\sqrt{3}}{3}=\frac{2048\sqrt{3}}{3}}\).
Natomiast pole powierzchni całkowitej graniastosłupa wynosi \(\displaystyle{ P=2a^2+4ah=2\cdot 64\cdot 2+4\cdot 8\sqrt{2}\cdot\frac{16\sqrt{3}}{3}=256+256\cdot\frac{2\sqrt{6}}{3}=256(1+\frac{2\sqrt{6}}{3})}\).

[tojatakjest]

czemu tam na koncu jest 8pierwiastków z 3 a nie 16 pierwiastkow z 3?

[lukasz1804]

Faktycznie, przepraszam za pomyłkę. Już poprawiłem swój błąd. ;/

[tojatakjest]

mam jesczez jedno

Oblicz pole całkowite oraz objętość ostrosłupa o krawędzie podstawy a=9 i b=12, a krawędzie boczne ostrosłupa równe są k=20

[ Dodano: 25 Lipca 2008, 16:40 ]
a mogla bym sie jesczez dowiedziec skad sie wzielo tam to 256*2pierwiastek z 6 przez 3?? bo nie kapuje:/

[lukasz1804]

Mamy \(\displaystyle{ 4\cdot 8\sqrt{2}\cdot\frac{16\sqrt{3}}{3}=4\cdot 8\cdot 16\cdot\frac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}}{3}=(2\cdot 8\cdot 16)\cdot 2\cdot\frac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}}{3}=16^2\cdot\frac{2\sqrt{6}}{3}=256\cdot\frac{2\sqrt{6}}{3}}\).

W tym kolejnym zadanku chodzi Ci chyba o ostrosłup czworokątny.
Wówczas ze wzoru na pole prostokąta otrzymujemy pole \(\displaystyle{ P_p}\) podstawy ostrosłupa: \(\displaystyle{ P_p=ab=108}\).
Niech H oznacza wysokość ostrosłupa. Wtedy z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie o bokach: połowa przekątnej podstawy (\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}=\frac{15}{2}}\)), H oraz k mamy \(\displaystyle{ H^2=k^2-(\frac{15}{2})^2=20^2-(\frac{15}{2})^2=\frac{55}{2}\cdot\frac{25}{2}=\frac{55\cdot 25}{4}}\), więc \(\displaystyle{ H=\frac{5\sqrt{55}}{2}}\).
Zatem objętość V ostrosłupa wynosi \(\displaystyle{ V=\frac{1}{3}P_pH=\frac{2560\sqrt{330}}{18}}\).
Zauważmy poMamy nadto, że z twierdzenia Pitagorasa wyznaczyć można wysokości \(\displaystyle{ h_1,\ h_2}\) sąsiednich ścian bocznych ostrosłupa.
Mamy \(\displaystyle{ h_1=\sqrt{k^2-(\frac{a}{2})^2}=\sqrt{400-\frac{81}{4}}=\frac{\sqrt{1519}}{2}=\frac{7\sqrt{31}}{2}}\), \(\displaystyle{ h_2=\sqrt{k^2-(\frac{b}{2})^2}=\sqrt{400-36}=\sqrt{364}=2\sqrt{91}}\).
Stąd i ze wzoru na pole trójkąta wynika, ze pole powierzchni całkowitej ostrosłupa jest równe

\(\displaystyle{ P=P_p+2\cdot\frac{ah_1}{2}+2\cdot\frac{bh_2}{2}=P_p+ah_1+bh_2=108+\frac{63\sqrt{31}}{2}+24\sqrt{91}}\).

[tojatakjest]

nie kapuje xD rozpisz po polskiemu xD

[ Dodano: 25 Lipca 2008, 20:04 ]
a moge kogos poprosic kogoś zeby sprawdzil to pierwsze zadanie.?

[Justka]

Pierwsze zadanie jest dobrze rozwiązane
Co do drugiego może pomoże ten rysunek.
x- połowa przekatnej podstawy \(\displaystyle{ x=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}=\frac{15}{2}}\) reszta oznaczeń tak jak w rozwiązaniu lukasza.

AU

160q4i0.jpg (15.25 KiB) Przejrzano 67 razy

Bo już lepiej wytłumaczyć się tego nie da