promien kuli opisanej na scietym czworoscianie

[n4talli]

Hej! trafilo mi sie takie zadanko: "w czworoscianie foremnym o krawedzi a scieto wszystkie narozniki bedace czworoscianami formenymi o krawedzi 1/3a, obliczyc promien kuli opisanej na powstalej bryle".
z gory dziekuje za pomoc

[Justka]

Masz może odpowiedź do tego zadania?

[n4talli]

nie mam

[Justka]

AU

653e9z.jpg (15.25 KiB) Przejrzano 50 razy

Oznaczenia na rysunku:
x- 1/4 wysokości czworościanu
y- promień okręgu opisanego na sześciokącie foremnym, który został utworzony po odcięciu narożników
R- promień kuli opisanej na naszej bryle
Środek kuli znajduje się w punkcie przecięcia się wysokości czworościanu.

Wiadomo, że promień jest równy: \(\displaystyle{ R=\sqrt{x^2+y^2}}\). Zatem szukamy wartości x i y. 1/4 wysokości czworościanu to:
\(\displaystyle{ x=\frac{1}{4}H \iff x=\frac{1}{4}\cdot a\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{a\sqrt{6}}{12}}\)
A promień okręgu opisanego na sześciokącie foremnym jest równy długości boku tego sześciokąta, a że bok sześciokąta jest równy \(\displaystyle{ \frac{1}{3}a}\) to \(\displaystyle{ y=\frac{1}{3}a}\)

Więc:
\(\displaystyle{ R=\sqrt{(\frac{a\sqrt{6}}{12})^2+ (\frac{1}{3}a)^2}=\sqrt{\frac{6a^2}{144}+\frac{16a^2}{144}}\\
R=\frac{a\sqrt{22}}{12}}\)

Choć do końca pewna nie jestem

[andzia0012]

Mam podobne zadanie i jedno pytanie, skąd wiadomo, że x jest w 1/4 wysokości czworościanu foremnego?

[kruszewski]

Promień kuli opisanej:
\(\displaystyle{ R = \frac{1}{4}\sqrt{22}a \approx 1{,}17260394a.}\)
Tak podaje Wiki
W.Kr.