Ostrosłup prawidłowy czworokątny

[cyryl5]

odległość środka podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego od jego krawędzi bocznej jest równa ''alfa'' a krawędź boczna tworzy z płaszczyzna podstawy kat ''alfa'.Oblicz pole powierzchni bocznej ostrosłupa

[Justka]

d- odległość środka podstawy od kr. bocznej
POle boczne to \(\displaystyle{ P=2ah}\),gdzie a krawędź podstawy, a h wysokośc ściany bocznej. Przekształcamy co się da aby otrzymac te dwie wielkości. Zatem:
Obliczamy połowę przekatnej podstawy (x) korzystając z podanego kata i długości d: \(\displaystyle{ x=\frac{d}{sin\alpha}}\), a ponieważ \(\displaystyle{ x=\frac{1}{2}a\sqrt{2}}\) to \(\displaystyle{ a=\frac{d\sqrt{2}}{sin\alpha}}\) oraz wysokość ostrosłupa: \(\displaystyle{ H=x\cdot tg\alpha =\frac{d tg\alpha}{sin \alpah}}\).
brakuje nam jeszcze wysokość ściany bocznej, czyli
\(\displaystyle{ h^2=H^2+(\frac{a}{2})^2\\
h^2=(\frac{d tg\alpha}{sin \alpah})^2+ (\frac{d\sqrt{2}}{2sin })^2\\
h=\frac{d\sqrt{2} \sqrt{2tg^2 +1}}{2sin }}\)
Zatem szukane przez nas pole jest równe:
\(\displaystyle{ P=2ah= 2\cdot \frac{d\sqrt{2}}{sin\alpha} \frac{d\sqrt{2} \sqrt{2tg^2 +1}}{2sin }\\
P=2d^2\frac{\sqrt{2tg^2 +1}}{sin^2\alpha}}\)

[Jadranko]

Przepraszam że odkupuję zadanie po kilku latach, ale mam pytanie. Czy dwie odległości "d" to nie będzie przypadkiem długość krawędzi podstawy? No bo skoro w podstawie mamy kwadrat, więc odległość środka podstawy od kr. bocznej będzie połową krawędzi bocznej? Czyż nie?

I wtedy można policzyć przekątną podstawy z twierdzenia Pitagorasa:
\(\displaystyle{ (2d)^{2}+(2d)^{2}=x^{2}}\)
\(\displaystyle{ x=2 \sqrt{2}d}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}x= \sqrt{2}d}\)

Wysokość ostrosłupa można policzyć z \(\displaystyle{ \tg}\):
\(\displaystyle{ \tg \alpha = \frac{h}{ \frac{1}{2}x }}\)
\(\displaystyle{ h=\tg \alpha \cdot \sqrt{2}d}\)

I mając wysokość ostrosłupa można policzyć wysokość ściany bocznej:
\(\displaystyle{ h _{b} ^{2}=d ^{2} + h ^{2}}\)

Moje pytanie jest, czy powyższe rozumowanie jest dobra? I skąd się wzięło w poście powyżej to stwierdzenie:
\(\displaystyle{ x=\frac{d}{\sin\alpha}}\)