Prawidłowy ostrosłup czworokątny

[darek88]

W prawidłowym ostrosłupie czworokątnym kąt między płaszczyznami sąsiednich ścian bocznych wynosi 120 stopni. Obliczyć kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy.

[lukasz1804]

Oznaczmy: \(\displaystyle{ a}\)- krawędź podstawy, \(\displaystyle{ b}\)- krawędź boczna, \(\displaystyle{ c}\)- wysokość ściany bocznej poprowadzona do krawędzi bocznej, \(\displaystyle{ h}\)- wysokość ściany bocznej poprowadzona do krawędzi podstawy.
Niech \(\displaystyle{ \alpha=120^{o}}\) będzie danym kątem dwuściennym między sąsiednimi ścianami bocznymi. Niech \(\displaystyle{ \beta}\) będzie szukanym kątem nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy.
Ze wzoru na pole trójkąta zastosowanego do ściany bocznej mamy \(\displaystyle{ \frac{1}{2}ah=\frac{1}{2}bc}\), więc \(\displaystyle{ ah=bc}\). Obie strony tej równości mają wartość dodatnią, więc podnosząc do kwadratu mamy

\(\displaystyle{ a^2h^2=b^2c^2}\).

Z twierdzenia kosinusów otrzymujemy \(\displaystyle{ (a\sqrt{2})^2=c^2+c^2-2c^2\cos\alpha}\), skąd wynika, że

\(\displaystyle{ a^2=c^2(1-\cos\alpha)}\).

Ponadto, z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy

\(\displaystyle{ b^2=h^2+(\frac{a}{2})^2}\).

Wstawiając drugie z wycentrowanych równan do pierwszego uzyskamy \(\displaystyle{ b^2=h^2(1-\cos\alpha)}\). Następnie wstawiając otrzymane wyrażenie do trzeciego z wyśrodkowanych równań otrzymamy \(\displaystyle{ h^2(1-\cos\alpha)=h^2+(\frac{a}{2})^2}\), skąd łatwo dostajemy \(\displaystyle{ -\cos\alpha=(\frac{a}{2h})^2=(\cos\beta)^2}\). Stąd ponieważ \(\displaystyle{ \beta}\) jest kątem ostrym, to \(\displaystyle{ \cos\beta=\sqrt{-\cos\alpha}=\sqrt{-\cos 120^{o}}=\sqrt{-(-\frac{1}{2})}=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\), więc \(\displaystyle{ \beta=45^{o}}\).