Wzrór na objętość stożka ściętego- jak wyprowadzić?

[fazi777]

tak jak w temacie mam pytanie jak wyprowadzic ten wzor majac pole obu podstaw i wysokość

[Crizz]

Na rusnku masz przekrój osiowy stożka ściętego z dorysowanym stożkiem, z którego go otrzymujemy. Widać, że \(\displaystyle{ \frac{r_{2}-r_{1}}{h}=tgx= \frac{r_{2}}{h'}}\), skąd \(\displaystyle{ h'= \frac{r_{2}}{r_{2}-r_{1}} \cdot h}\), a po drobnych przekształceniach \(\displaystyle{ h'-h= \frac{r_{1}}{r_{2}-r_{1}}}\).

Niech \(\displaystyle{ V_{1}}\) oznacza szukaną objętość, a \(\displaystyle{ V_{2}}\) objętość stożka, który odcinamy od "dużego" stożka, by otrzymać stożek ścięty. Wtedy \(\displaystyle{ V_{1}+V_{2}= \frac{1}{3}\pi r_{2}^{2}h'}\), skąd:

\(\displaystyle{ V_{1}= \frac{1}{3}\pi r_{1}^{2}h'-V_{2}=\frac{1}{3}\pi r_{2}^{2} \cdot \frac{r_{2}}{r_{2}-r_{1}} \cdot h - \frac{1}{3}\pi r_{1}^{2} \cdot \frac{r_{1}}{r_{2}-r_{1}} \cdot h = \frac{\pi h}{3(r_{2}-r_{1})}(r_{2}^{3}-r_{1}^{3})= \frac{\pi h}{3}(r_{1}+r_{1}r_{2}+r_{2})}\).
Wystarczy teraz podstawić \(\displaystyle{ S_{1}=\pi r_{1}^{2},S_{2}=\pi r_{2}^{2}}\), gdzie S1 i S2 oznaczają pola podstaw stożka ściętego.

[fazi777]

a ten sam wzor tylko do ostrosłupa ścietego?

[Crizz]

hmm ... spróbuj wykorzystać to, że \(\displaystyle{ \frac{V_{2}}{V_{1}+V_{2}} = (\frac{h-h'}{h'})^{3}}\).

[panisiara]

a można prosić o rozpisanie tych przekształceń?
a po drobnych przekształceniach \(\displaystyle{ h'-h= \frac{r_{1}}{r_{2}-r_{1}}.}\)
Ps. I taka drobna sugestia ^ proporcje o których mowa wyżej to nie sinusy, lecz tangensy kąta x. Pozdrawiam:)

[Crizz]

rozpisanie tych przekształceń...

Po prostu dodaj sobie do obu stron wcześniejszego równania -h i sprowadź prawą stronę do wspólnego mianownika.