zadania: ostroslupy(3) graniastoslupy(3)

[gigol]

Graniastosłupy:

1G: Długość przekątnej sześcianu jest równa D. Oblicz objętość sześcianu.

2G: Oblicz objętość prostopadłościanu, jeżeli jedna krawędź podstawy ma długość 3, przekątna podstawy ma 5, a przekątna prostopadłościanu ma 13.

3G: Podstawa graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego jest wpisana w koło o promieniu długości 2 pierwiastki z 3. Najdłuższa przekątna graniastosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt miary 60 stopni. Oblicz objętość tego graniastosłupa.

Ostrosłupy:

1S: Podstawą ostrosłupa jest prostokąt o bokach 9 i 12 cm. Krawędzie boczne mają po 12,5 cm. Oblicz objętość ostrosłupa.

2S: Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość 2cm a kąt między ścianą boczną i płaszczyzną podstawy ma miarę PI/4. Oblicz objętość ostrosłupa.

3S: Podstawą ostrosłupa jest trójkąt równoramienny o ramieniu długości 6cm i podstawie długości 8cm. Krawędzie boczne są sobie równe i mają po 9cm. Oblicz objętość ostrosłupa.


Część udało mi sie zrobić, ale jestem ciekaw czy moje myślenie było poprawne, kolejnych nawet nie potrafiłem ruszyć, z góry dziękuję za pomoc.

[thralll]

1G)
\(\displaystyle{ d=a\sqrt{3} \\ V=a^{3}=\frac{d^{3}\sqrt{3}}{9}}\)


2G)
\(\displaystyle{ V=3*\sqrt{5^{2}-3^{2}}*\sqrt{13^{2}-5^{2}}=144[j^{2}]}\)


3G) promień to długość krawędzi sześciany foremnego, równocześnie średnica to połowa boku trójkąta równobocznego (wysokość tego trójkąta to wysokośc graniastosłupa)
\(\displaystyle{ V=6\frac{(2\sqrt{3})^{2}\sqrt{3}}{4}*\frac{2*4\sqrt{3}\sqrt{3}}{2} \\ V=24\sqrt{3}+12}\)

1S)Źle sformułowane podstawą nie może być przekątna
2S)
Pole podstawy liczmy jak w zadaniu 3G wysokość ostrosłupa to wysokość trójkąta równobocznego o boku 2cm (PI/4=45stopni)
\(\displaystyle{ V=6\frac{2^{2}\sqrt{3}}{4}*\frac{1}{3}*\frac{2\sqrt{3}}{2}\\ V=6[cm^{3}]}\)

3G)
wysokość podstawy:
\(\displaystyle{ h=\sqrt{6^{2}-4^{2}}=2\sqrt{5}[cm]}\)
wysokość ściany o podstawie 8:
\(\displaystyle{ h_{8}=\sqrt{9^{2}-4^{2}}=\sqrt{65}[cm]}\)
Przekrój wzdłuż wysokości opadającej na krawędź o długości 8[cm]:

Kod: Zaznacz cały

       /                   
      /|                    
     / |                   
    /  |                   
   /   |                   
9 /    |H    h8             
 /     |                   
/____|_____                        
  x                       

wysokość ostrosłupa:
\(\displaystyle{ \begin{cases} H=\sqrt{9^{2}-x^{2}} \\ H=\sqrt{\sqrt{65}^{2}-(2\sqrt{5}-x)^{2}} \end{cases} \\ H=\frac{18\sqrt{5}}{5}[cm]}\)

Objętość:
\(\displaystyle{ V=\frac{8*2\sqrt{5}}{2}*\frac{1}{3}*\frac{18\sqrt{5}}{5}=48[cm^3]}\)

pozdrawiam
thralll

[gigol]

w 1S powinno być prostokąt zamiast przekątna.

dzięki za rozwiązania

[thralll]

W takim razie wysokość to wysokość trójkąta równoramiennego gdzie podstawą to przekątna podstawy ostrosłupa a ramiona mają po 12,5cm. Z twierdzenia Pitagorasa można zapisać:

\(\displaystyle{ H=\sqrt{12.5^{2}-\frac{\sqrt{12^{2}+9^{2}}}{2}} \\ V=\frac{1}{3}*9*12*H \\ V=18\sqrt{595}[cm^{3}]\approx439[cm^{3}]}\)

[gigol]

prosze o szersze wyjasnienie zadania 3G, potrafie obliczycc Pp, nie wiem jak dojsc do H ostroslupa, help!

[thralll]

Jest rysunek
Tam gdzie jest x znajduje się podstawa.
Długość krawędzi (9) z lewej strony z drugiej wysokość (ściany) trójkąta o długościach boków 9,9,8. Potem tylko twierdzenie pitagorasa i układ równań, pierwsze równanie dotyczy lewego trójkąta, drugie prawego.
Zrób rysunek 3D tego ostrosłupa, zaznacz wysokość podstawy opadającą na bok 8cm a potem z punktu w którym wysokość styka się z bokiem poprowadź odcinek do wierzchołka ostrosłupa. Wyznaczona odcinek to właśnie h8. Postaraj się dopasować mój przekrój do swojego rysunku, a wszystko powinno stać się jasne.
Mam nadzieję, że trochę rozjaśniłem. Na przyszłość, większość zadań tego typu rozwiązuje się tworząc odpowiedni trójkąty prostokątne i licząc długości boków z twierdzenia Pitagorasa (ew. f. trygonometrycznych).
Wszystko jasne?