Obliczyć promienie kól wzajemnie stycznych

Sześciany. Wielościany. Kule. Inne bryły. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa w przestrzeni.
rObO87
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 588
Rejestracja: 16 sty 2005, o 20:42
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 4 razy

Obliczyć promienie kól wzajemnie stycznych

Post autor: rObO87 »

Cztery kule o równych promieniach są wzajemnie styczne i każda z nich jest styczna wewnętrznie do kuli o promieniu R. Oblicz promienie tych kul.

Jeśli dobrze rozumię, to taka figura będzie przypomnała czworościan wpisany w koło, tylko jak przedstawić to na rysunku w postaci przekroju?




Zlodiej

Przeniesione do stereometria
Fibik
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 953
Rejestracja: 27 wrz 2005, o 22:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 74 razy

Obliczyć promienie kól wzajemnie stycznych

Post autor: Fibik »

Środki tych kul, o jednakowym promieniu r, wyznaczają czworościan foremny.
Krawędź 'k' tego czworościanu ma długość 2r (kule są styczne w punktach, które są środkami krawędzi).

Dobrze wszystko widać, gdy narysujemy trójkąt, który definiują
krawędź 'k' i wysokość 'H' tego czworościanu.
Rysujemy też dwa okręgi (r = k/2) na końcach tej krawędzi.

\(\displaystyle{ H = \large\frac{\sqrt{6}}{3}k}\)
Obliczenie tego może być ciekawym ćwiczeniem.

Promień kuli opisanej na czworościanie:
\(\displaystyle{ \large q = \frac{\sqrt{6}}{4}k}\)
Jeszcze lepsze ćwiczenie. Widać tu przy okazji, że q = 3/4H.


Promień dużej kuli (obejmującej te cztery, które 'wystają' z czworościanu na odległość r):
R = q + r

Używamy wzoru na q oraz wstawiając k = 2r, otrzymujemy:
\(\displaystyle{ R = \large\frac{\sqrt{6}}{4}2r + r = (\frac{\sqrt{6}}{2} + 1)r}\)
Aura
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 300
Rejestracja: 4 maja 2005, o 17:03
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: z xiężyca
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 14 razy

Obliczyć promienie kól wzajemnie stycznych

Post autor: Aura »

Ze swojej strony dodam tylko, że niewiadomą jest r, więc odpowiedź do zadania to \(\displaystyle{ R(\sqrt{6}-2)}\). No ale to tylko kropka nad i, bo całe rozumowanie zostało już jasno wyłożone
Fibik
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 953
Rejestracja: 27 wrz 2005, o 22:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 74 razy

Obliczyć promienie kól wzajemnie stycznych

Post autor: Fibik »

Wystarczy podzielić ostatnią równość przez wyrażenie w nawiasach i będziesz mieć r = cR

Tak naprawdę, to i nie ma żadnej kropki nad sobą - ta kropka jest jego integralną częścią.
chillout89
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 56
Rejestracja: 16 gru 2006, o 14:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: zewszad
Podziękował: 5 razy

Obliczyć promienie kól wzajemnie stycznych

Post autor: chillout89 »

Może ktoś rozpisać obliczenia do tego zad, nie czaje od momentu gdzie trzeba obliczyc promien kuli opisanej na czworościanie!!!
rObO87
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 588
Rejestracja: 16 sty 2005, o 20:42
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 4 razy

Obliczyć promienie kól wzajemnie stycznych

Post autor: rObO87 »

Fibik pisze: \(\displaystyle{ H = \large\frac{\sqrt{6}}{3}k}\)
Obliczenie tego może być ciekawym ćwiczeniem.

Promień kuli opisanej na czworościanie:
\(\displaystyle{ \large q = \frac{\sqrt{6}}{4}k}\)
W jaki sposób otrzymałeś te liczby?

Nie powinno być tak, że:
\(\displaystyle{ R=\frac{2}{3}H+r}\)
gdzie H to wysokość tego czworościanu, o którym piszesz?
chillout89
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 56
Rejestracja: 16 gru 2006, o 14:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: zewszad
Podziękował: 5 razy

Obliczyć promienie kól wzajemnie stycznych

Post autor: chillout89 »

Może ktoś podpowie jak opisac koło na czworoscianie prawidlowym!!!
Awatar użytkownika
kolanko
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1905
Rejestracja: 9 gru 2006, o 14:23
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łańcut
Podziękował: 32 razy
Pomógł: 172 razy

Obliczyć promienie kól wzajemnie stycznych

Post autor: kolanko »

Chodzi Ci o wpisanie w zeszycie czy w jakims programie na kompie ? czy o co ci dokladnie chodzi bo takie wpisanie latwe nie bedzie . zobacz na wikipedi ile bedzie mial promien itp ...
chillout89
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 56
Rejestracja: 16 gru 2006, o 14:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: zewszad
Podziękował: 5 razy

Obliczyć promienie kól wzajemnie stycznych

Post autor: chillout89 »

No do zeszytu, chodzi mi o to jak dojsc do tego promienia z jakich obliczen!
Awatar użytkownika
szymuś
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 110
Rejestracja: 30 kwie 2007, o 16:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: ze wsi;)
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 17 razy

Obliczyć promienie kól wzajemnie stycznych

Post autor: szymuś »

nie wiem, ale ja to widze tak

a wiec \(\displaystyle{ \frac{r2\sqrt2}{2} + r = R}\) a wiec \(\displaystyle{ r= \frac{R}{\sqrt2 +1}}\)

niech mnie ktos zprowadzi na ziemie jesli sie myle
soku11
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6607
Rejestracja: 16 sty 2007, o 19:42
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 119 razy
Pomógł: 1823 razy

Obliczyć promienie kól wzajemnie stycznych

Post autor: soku11 »

Tutaj masz rysunek pomocniczy:


Wiec promien takiego kola bedzie wynosil:
\(\displaystyle{ R=\frac{a\sqrt{6}}{4}}\)

POZDRO
chillout89
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 56
Rejestracja: 16 gru 2006, o 14:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: zewszad
Podziękował: 5 razy

Obliczyć promienie kól wzajemnie stycznych

Post autor: chillout89 »

No dobra ale z kat wiemy w jakim stosunku dziela sie te promienie R na tym twoim 2 rysunku bo to jest trojkat rownoramienny i jak z tego wyznaczyc R ?
soku11
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6607
Rejestracja: 16 sty 2007, o 19:42
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 119 razy
Pomógł: 1823 razy

Obliczyć promienie kól wzajemnie stycznych

Post autor: soku11 »

Nie bede wyprowadzal wzoru na wysokosc czworoscianu bo sam sobie z tym poradzisz... Wiec mamy wysokosc:
\(\displaystyle{ h=a\sqrt{\frac{2}{3}}\\}\)
Teraz zauwazam ze przecinajace sie wysokosci tworza trojkat prostokatny. Moge wiec zapisac taka rownosc:
\(\displaystyle{ R^{2}=(\sqrt{\frac{2}{3}}a-R)^{2}+\frac{2}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}\\}\)

Z tego wychodzi:
\(\displaystyle{ R=\frac{a\sqrt{6}}{4}\\}\)

POZDRO :]
chillout89
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 56
Rejestracja: 16 gru 2006, o 14:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: zewszad
Podziękował: 5 razy

Obliczyć promienie kól wzajemnie stycznych

Post autor: chillout89 »

Dzieki za pomoc!
rObO87
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 588
Rejestracja: 16 sty 2005, o 20:42
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 4 razy

Obliczyć promienie kól wzajemnie stycznych

Post autor: rObO87 »

Moze ktoś zrobić porzadny rysunek? Bo narazie nic z tego nie kumam
ODPOWIEDZ