Obliczyć promienie kól wzajemnie stycznych
-
- Użytkownik
- Posty: 588
- Rejestracja: 16 sty 2005, o 20:42
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 4 razy
Obliczyć promienie kól wzajemnie stycznych
Cztery kule o równych promieniach są wzajemnie styczne i każda z nich jest styczna wewnętrznie do kuli o promieniu R. Oblicz promienie tych kul.
Jeśli dobrze rozumię, to taka figura będzie przypomnała czworościan wpisany w koło, tylko jak przedstawić to na rysunku w postaci przekroju?
Zlodiej
Przeniesione do stereometria
Jeśli dobrze rozumię, to taka figura będzie przypomnała czworościan wpisany w koło, tylko jak przedstawić to na rysunku w postaci przekroju?
Zlodiej
Przeniesione do stereometria
-
- Użytkownik
- Posty: 953
- Rejestracja: 27 wrz 2005, o 22:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 11 razy
- Pomógł: 74 razy
Obliczyć promienie kól wzajemnie stycznych
Środki tych kul, o jednakowym promieniu r, wyznaczają czworościan foremny.
Krawędź 'k' tego czworościanu ma długość 2r (kule są styczne w punktach, które są środkami krawędzi).
Dobrze wszystko widać, gdy narysujemy trójkąt, który definiują
krawędź 'k' i wysokość 'H' tego czworościanu.
Rysujemy też dwa okręgi (r = k/2) na końcach tej krawędzi.
\(\displaystyle{ H = \large\frac{\sqrt{6}}{3}k}\)
Obliczenie tego może być ciekawym ćwiczeniem.
Promień kuli opisanej na czworościanie:
\(\displaystyle{ \large q = \frac{\sqrt{6}}{4}k}\)
Jeszcze lepsze ćwiczenie. Widać tu przy okazji, że q = 3/4H.
Promień dużej kuli (obejmującej te cztery, które 'wystają' z czworościanu na odległość r):
R = q + r
Używamy wzoru na q oraz wstawiając k = 2r, otrzymujemy:
\(\displaystyle{ R = \large\frac{\sqrt{6}}{4}2r + r = (\frac{\sqrt{6}}{2} + 1)r}\)
Krawędź 'k' tego czworościanu ma długość 2r (kule są styczne w punktach, które są środkami krawędzi).
Dobrze wszystko widać, gdy narysujemy trójkąt, który definiują
krawędź 'k' i wysokość 'H' tego czworościanu.
Rysujemy też dwa okręgi (r = k/2) na końcach tej krawędzi.
\(\displaystyle{ H = \large\frac{\sqrt{6}}{3}k}\)
Obliczenie tego może być ciekawym ćwiczeniem.
Promień kuli opisanej na czworościanie:
\(\displaystyle{ \large q = \frac{\sqrt{6}}{4}k}\)
Jeszcze lepsze ćwiczenie. Widać tu przy okazji, że q = 3/4H.
Promień dużej kuli (obejmującej te cztery, które 'wystają' z czworościanu na odległość r):
R = q + r
Używamy wzoru na q oraz wstawiając k = 2r, otrzymujemy:
\(\displaystyle{ R = \large\frac{\sqrt{6}}{4}2r + r = (\frac{\sqrt{6}}{2} + 1)r}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 300
- Rejestracja: 4 maja 2005, o 17:03
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: z xiężyca
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 14 razy
Obliczyć promienie kól wzajemnie stycznych
Ze swojej strony dodam tylko, że niewiadomą jest r, więc odpowiedź do zadania to \(\displaystyle{ R(\sqrt{6}-2)}\). No ale to tylko kropka nad i, bo całe rozumowanie zostało już jasno wyłożone
-
- Użytkownik
- Posty: 953
- Rejestracja: 27 wrz 2005, o 22:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 11 razy
- Pomógł: 74 razy
Obliczyć promienie kól wzajemnie stycznych
Wystarczy podzielić ostatnią równość przez wyrażenie w nawiasach i będziesz mieć r = cR
Tak naprawdę, to i nie ma żadnej kropki nad sobą - ta kropka jest jego integralną częścią.
Tak naprawdę, to i nie ma żadnej kropki nad sobą - ta kropka jest jego integralną częścią.
-
- Użytkownik
- Posty: 56
- Rejestracja: 16 gru 2006, o 14:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: zewszad
- Podziękował: 5 razy
Obliczyć promienie kól wzajemnie stycznych
Może ktoś rozpisać obliczenia do tego zad, nie czaje od momentu gdzie trzeba obliczyc promien kuli opisanej na czworościanie!!!
-
- Użytkownik
- Posty: 588
- Rejestracja: 16 sty 2005, o 20:42
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 4 razy
Obliczyć promienie kól wzajemnie stycznych
W jaki sposób otrzymałeś te liczby?Fibik pisze: \(\displaystyle{ H = \large\frac{\sqrt{6}}{3}k}\)
Obliczenie tego może być ciekawym ćwiczeniem.
Promień kuli opisanej na czworościanie:
\(\displaystyle{ \large q = \frac{\sqrt{6}}{4}k}\)
Nie powinno być tak, że:
\(\displaystyle{ R=\frac{2}{3}H+r}\)
gdzie H to wysokość tego czworościanu, o którym piszesz?
-
- Użytkownik
- Posty: 56
- Rejestracja: 16 gru 2006, o 14:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: zewszad
- Podziękował: 5 razy
Obliczyć promienie kól wzajemnie stycznych
Może ktoś podpowie jak opisac koło na czworoscianie prawidlowym!!!
- kolanko
- Użytkownik
- Posty: 1905
- Rejestracja: 9 gru 2006, o 14:23
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łańcut
- Podziękował: 32 razy
- Pomógł: 172 razy
Obliczyć promienie kól wzajemnie stycznych
Chodzi Ci o wpisanie w zeszycie czy w jakims programie na kompie ? czy o co ci dokladnie chodzi bo takie wpisanie latwe nie bedzie . zobacz na wikipedi ile bedzie mial promien itp ...
-
- Użytkownik
- Posty: 56
- Rejestracja: 16 gru 2006, o 14:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: zewszad
- Podziękował: 5 razy
Obliczyć promienie kól wzajemnie stycznych
No do zeszytu, chodzi mi o to jak dojsc do tego promienia z jakich obliczen!
- szymuś
- Użytkownik
- Posty: 110
- Rejestracja: 30 kwie 2007, o 16:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: ze wsi;)
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 17 razy
Obliczyć promienie kól wzajemnie stycznych
nie wiem, ale ja to widze tak
a wiec \(\displaystyle{ \frac{r2\sqrt2}{2} + r = R}\) a wiec \(\displaystyle{ r= \frac{R}{\sqrt2 +1}}\)
niech mnie ktos zprowadzi na ziemie jesli sie myle
a wiec \(\displaystyle{ \frac{r2\sqrt2}{2} + r = R}\) a wiec \(\displaystyle{ r= \frac{R}{\sqrt2 +1}}\)
niech mnie ktos zprowadzi na ziemie jesli sie myle
-
- Użytkownik
- Posty: 56
- Rejestracja: 16 gru 2006, o 14:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: zewszad
- Podziękował: 5 razy
Obliczyć promienie kól wzajemnie stycznych
No dobra ale z kat wiemy w jakim stosunku dziela sie te promienie R na tym twoim 2 rysunku bo to jest trojkat rownoramienny i jak z tego wyznaczyc R ?
-
- Użytkownik
- Posty: 6607
- Rejestracja: 16 sty 2007, o 19:42
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 119 razy
- Pomógł: 1823 razy
Obliczyć promienie kól wzajemnie stycznych
Nie bede wyprowadzal wzoru na wysokosc czworoscianu bo sam sobie z tym poradzisz... Wiec mamy wysokosc:
\(\displaystyle{ h=a\sqrt{\frac{2}{3}}\\}\)
Teraz zauwazam ze przecinajace sie wysokosci tworza trojkat prostokatny. Moge wiec zapisac taka rownosc:
\(\displaystyle{ R^{2}=(\sqrt{\frac{2}{3}}a-R)^{2}+\frac{2}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}\\}\)
Z tego wychodzi:
\(\displaystyle{ R=\frac{a\sqrt{6}}{4}\\}\)
POZDRO :]
\(\displaystyle{ h=a\sqrt{\frac{2}{3}}\\}\)
Teraz zauwazam ze przecinajace sie wysokosci tworza trojkat prostokatny. Moge wiec zapisac taka rownosc:
\(\displaystyle{ R^{2}=(\sqrt{\frac{2}{3}}a-R)^{2}+\frac{2}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}\\}\)
Z tego wychodzi:
\(\displaystyle{ R=\frac{a\sqrt{6}}{4}\\}\)
POZDRO :]
-
- Użytkownik
- Posty: 56
- Rejestracja: 16 gru 2006, o 14:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: zewszad
- Podziękował: 5 razy