Ostrosłup- sinus kąta między ścianami bocznymi

[Franio]

W ostrosłupie prawidłowym o podstawie trójkątnej, długość krawędzi bocznej jest 2 razy dłuższa od długości krawędzi podstawy. Obliczy sinus kąta między dwiema ścianami bocznymi.

[Viathor]

Kąt dwuścienny jest to kąt złożony z dwóch odcinków (zał. \(\displaystyle{ x}\)) od wierzchołków trójkąta podstawy do ściany bocznej (padają pod kątem prostym), odcinek ten jest także wysokością ściany bocznej opadającą na krawędź. Tak więc:
\(\displaystyle{ a}\)-kr. podst
\(\displaystyle{ 2a}\)-kr. boczna
Szukamy h opadającej na krawędź podstawy\(\displaystyle{ a}\)
\(\displaystyle{ (\frac{a}{2})^2+h^2=(2a)^2\\
h= \frac{ \sqrt{15} }{2}a \\}\)
Teraz porównanie pól :
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}*a*\frac{ \sqrt{15} }{2}a = \frac{1}{2}x*2a\\
x= \frac{ \sqrt{15} }{4}a}\)
Teraz mamy trójkąt równoramienny o bokach x i podstawie a
Z tw. cos:
\(\displaystyle{ a^2= (\frac{ \sqrt{15} }{4}a)^2+(\frac{ \sqrt{15} }{4}a)^2-2(\frac{ \sqrt{15} }{4}a)(\frac{ \sqrt{15} }{4}a)cos\alpha\\
a^2= \frac{30}{16}a^2- \frac{15}{8}a^2cos\alpha\\
cos\alpha= \frac{7}{15}}\)
\(\displaystyle{ sin\alpha= \frac{4 \sqrt{11} }{15}}\)

Sprawdź jeszcze obliczenia

pozdr