graniastosłup

[dwdmp]

W prawidłowym graniastosłupie trójkątnym, pole powierzchni bocznej jest równe sumie pól obu podstaw. Oblicz cosinus kąta alfa nachylenia przekątnej ściany boncznej do sąsiędniej ściany bocznej.

[lukasz1804]

Niech \(\displaystyle{ a,h}\) oznaczają krawędź podstawy i wysokość graniastosłupa odpowiednio.
Niech \(\displaystyle{ d}\) będzie przekątną ściany bocznej, a \(\displaystyle{ d_1}\) odcinkiem łączącym wierzchołek podstawy graniastosłupa ze środkiem przeciwległej krawędzi podstawy. Wówczas kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) jest zawart między \(\displaystyle{ d}\) i \(\displaystyle{ d_1}\). Oczywiście \(\displaystyle{ d=\sqrt{a^2+h^2},\ d_1=\sqrt{\frac{a^2}{4}+h^2}}\). Stąd

\(\displaystyle{ \cos\alpha=\frac{d_1}{d}=\sqrt{\frac{\frac{a^2}{4}+h^2}{a^2+h^2}}=\sqrt{\frac{a^2+4h^2}{4(a^2+h^2)}}}\).

Z założenia o polach powierzchni mamy ponadto \(\displaystyle{ 2\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=3ah}\), czyli \(\displaystyle{ a\sqrt{3}=6h}\) i w konsekwencji \(\displaystyle{ a^2=12h^2}\). Z powyższego dostajemy teraz

\(\displaystyle{ \cos\alpha=\sqrt{\frac{16h^2}{4\cdot 13h^2}}=\frac{2\sqrt{13}}{13}}\).