szescian

[marcing89]

Ze środka ściany bocznej sześcianu poprowadzono prostą prostopadłą do przekątnej
sześcianu. Oblicz stosunek długości odcinków, na jakie prosta ta dzieli przekątną
sześcianu.

[klaustrofob]

niech AB=krawędź sześcianu, BC przekątna ściany, O środek ściany = środek BC, AC - przekątna sześcianu. tr. ABC jest prostokątny, kąt B jest prosty. S - rzut prostokątny O na AC, czyli opisany w treści punkt przecięcia. tr. CSO ~ tr. ABC w skali \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{2}}{2}:\sqrt{3}=\frac{\sqrt{6}}{6}}\). jeżeli b=bok sześcianu, to krótszy z tych odcinków ma długość \(\displaystyle{ b\sqrt{2}\frac{\sqrt{6}}{6}=b\frac{\sqrt{3}}{3}}\). ponieważ długość całej przekątnej to \(\displaystyle{ b\sqrt{3}}\) zatem dłuższy odcinek ma dłguść \(\displaystyle{ b\frac{2\sqrt{3}}{3}}\), a szukany stosunek wynosi 1:2.