Zminimalizować pole pow. całkowitej walca - bez pochodnej

[mm34639]

Objętość walca wynosi 54 Pi cm3. Wyznacz długość promienia podstawy tego walca tak aby jego pole powierzchni całkowitej było najmniejsze.

oczywiście, można to zrobić w ten sposób, że
\(\displaystyle{ V=\pi r^{2}h=54\pi \\
54=r^{2}h \\ \\
h=\frac{54}{r^{2}} \\
Ppc=2\pi r(r+h)=2\pi (r^{2}+\frac{54}{r})}\)
\(\displaystyle{ 2\pi}\) mnie nie obchodzi, więc minimalizuję
\(\displaystyle{ r^{2}+\frac{54}{r} \\
Ppc'(r)=2r-\frac{54}{r^{2}}=0 \\
r=3}\)

druga pochodna wychodzi \(\displaystyle{ 2+\frac{108}{r^{3}} > 0}\) , więc to minimum

ALE

to powinno być zrobione elementarnie, czyli wg. nowego programu LO, czyli bez pochodnych.

I nie bardzo mam pomysł jak to rozwiązać, istnieje możliwość że nauczyciel myślał że tu będzie się minimalizować parabolę, i po prostu się pomylił dając to... Ale chwilowo załóżmy że tak nie jest. Próbowałem minimalizować też względem h, i podstawiać inne rzeczy za r żeby wyszła przyjemna funkcja, ale nic z tego... Proszę o radę...

Nie wiem, może to bardziej do analizy pasuje...

[klaustrofob]

jest tak: \(\displaystyle{ r^2+\frac{54}{r}=r^2+\frac{27}{r}+\frac{27}{r}}\) teraz można skorzystać z nierówności między średnimi - to wyrażenie jest \(\displaystyle{ \geq 3\cdot\sqrt[3]{r^2\cdot\frac{27}{r}\cdot\frac{27}{r}}=27}\) i w sytuacji gdy wszystkie trzy składniki są równe zachodzi tu równość. stąd \(\displaystyle{ r^2=\frac{27}{r}}\) i r=3.

ale nie wiem, czy nierówności między średnimi są w programie...

[mm34639]

to jest bardzo sprytny pomysł dzięki

chociaż wątpię czy mieli to twierdzenie...

jakby ktoś wpadł jeszcze na coś innego to chętnie wysłucham; )

[Wasilewski]

Można też badać monotoniczność z definicji:
\(\displaystyle{ f(r) = r^2 + \frac{54}{r} \\
r_2 > r_1 \\
f(r_2) - f(r_1) = r_2^2 + \frac{54}{r_2} - r_1^2 - \frac{54}{r_1} = (r_1 + r_2)(r_2 - r_1) + \frac{54r_1 -54r_2}{r_1r_2} = (r_2 - r_1)\left(r_1 + r_2 - \frac{54}{r_1r_2}\right) = (r_2 - r_1)\frac{r_1^2 r_2 + r_2^2 r_1 - 54}{r_1 r_2} = \frac{r_2 - r_1}{r_1 r_2} \left(r_1^2 r_2 + r_2^3 r_1 - 54\right)}\)
Badamy znak wyrażenia w nawiasie:
\(\displaystyle{ r_1^2 r_2 + r_2^2 r_1 -54 > r_1^3 + r_1^3 - 54 > 0 \\
(r_1 - 3)(r_1^2 + 3r_1 + 9) \\
r_1 > 3}\)
Czyli dla r większych od trzech funkcja jest rosnąca.
\(\displaystyle{ r_1^2 r_2 + r_2^2 r_1 - 54 < r_2^3 + r_2^3 - 54 < 0 \\
r_2 < 3}\)
Czyli dla argumentów mniejszych od trzech maleje. Zatem zdrowy rozsądek mówi nam, że minimum przypada dla 3.