Kula i stożek...

Sześciany. Wielościany. Kule. Inne bryły. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa w przestrzeni.
pm97
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17
Rejestracja: 19 kwie 2008, o 16:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Skądś
Podziękował: 8 razy

Kula i stożek...

Post autor: pm97 »

Pole powierzchni kuli wpisanej w stożek jest równe polu jego podstawy. Oblicz:

a) stosunek pola powierzchni kuli do pola powierzchni bocznej stożka
b) jaką częścią objętości stożka jest objętość kuli?


Odp. a) \(\displaystyle{ 3 : 5}\)
b) \(\displaystyle{ \frac{3}{8}}\)
Awatar użytkownika
Nethia
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 33
Rejestracja: 8 mar 2009, o 14:32
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Bydgoszcz

Kula i stożek...

Post autor: Nethia »



\(\displaystyle{ P_{k}=P_{p}}\)

\(\displaystyle{ 4\pi R^{2}=\pi r^{2}}\)

\(\displaystyle{ 2R=r}\)

a)\(\displaystyle{ \frac{4\pi R^{2}}{\pi rl} = \frac{4\pi R^{2}}{\pi 2Rl} = \frac{2R}{l} = \frac{r}{l} = \cos \alpha}\)

\(\displaystyle{ \tg \alpha = \tg 2 \beta = \frac{2 \tg \beta}{1- \tg^{2} \beta}}\)

\(\displaystyle{ \tg \beta = \frac{R}{r} = \frac{R}{2R} = \frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ \tg 2 \beta = \frac{2 \cdot 0,5}{1-(0,5)^{2}} = \frac{4}{3}}\)

\(\displaystyle{ \tg^{2} \alpha = \frac{sin^{2} \alpha}{cos^{2} \alpha} = \frac{1-cos^{2} \alpha}{cos^{2} \alpha}}\)

\(\displaystyle{ ( \frac{4}{3} )^{2} = \frac{1-cos^{2} \alpha}{cos^{2}}}\)

Obliczając to równanie wychodzi

\(\displaystyle{ \cos \alpha = \frac{3}{5}}\)
\(\displaystyle{ \cos \alpha = - \frac{3}{5}}\)

A że stosunek pól nie moze byc ujemny odpowiedzią są \(\displaystyle{ \frac{3}{5}}\)

b)\(\displaystyle{ \frac{V_{k}}{V_{s}}}\)

\(\displaystyle{ V_{k} = \frac{4}{3} \pi R^{3}}\)

\(\displaystyle{ V_{s} = \frac{1}{3} \pi r^{2} h}\)

\(\displaystyle{ r = 2R}\)

\(\displaystyle{ \tg \alpha = \frac{h}{r}}\)

\(\displaystyle{ \frac{4}{3} = \frac{h}{2R}}\)

\(\displaystyle{ h = \frac{8}{3}R}\)

\(\displaystyle{ \frac{V_{k}}{V_{s}} = \frac{ \frac{4}{3} \pi R^{3}}{ \frac{32}{9} \pi R^{3}} = \frac{3}{8}}\)

Mam nadzieje ze pomogłam
ODPOWIEDZ