Pole powierzchni kuli wpisanej w stożek jest równe polu jego podstawy. Oblicz:
a) stosunek pola powierzchni kuli do pola powierzchni bocznej stożka
b) jaką częścią objętości stożka jest objętość kuli?
Odp. a) \(\displaystyle{ 3 : 5}\)
b) \(\displaystyle{ \frac{3}{8}}\)
Kula i stożek...
Kula i stożek...
\(\displaystyle{ P_{k}=P_{p}}\)
\(\displaystyle{ 4\pi R^{2}=\pi r^{2}}\)
\(\displaystyle{ 2R=r}\)
a)\(\displaystyle{ \frac{4\pi R^{2}}{\pi rl} = \frac{4\pi R^{2}}{\pi 2Rl} = \frac{2R}{l} = \frac{r}{l} = \cos \alpha}\)
\(\displaystyle{ \tg \alpha = \tg 2 \beta = \frac{2 \tg \beta}{1- \tg^{2} \beta}}\)
\(\displaystyle{ \tg \beta = \frac{R}{r} = \frac{R}{2R} = \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ \tg 2 \beta = \frac{2 \cdot 0,5}{1-(0,5)^{2}} = \frac{4}{3}}\)
\(\displaystyle{ \tg^{2} \alpha = \frac{sin^{2} \alpha}{cos^{2} \alpha} = \frac{1-cos^{2} \alpha}{cos^{2} \alpha}}\)
\(\displaystyle{ ( \frac{4}{3} )^{2} = \frac{1-cos^{2} \alpha}{cos^{2}}}\)
Obliczając to równanie wychodzi
\(\displaystyle{ \cos \alpha = \frac{3}{5}}\)
\(\displaystyle{ \cos \alpha = - \frac{3}{5}}\)
A że stosunek pól nie moze byc ujemny odpowiedzią są \(\displaystyle{ \frac{3}{5}}\)
b)\(\displaystyle{ \frac{V_{k}}{V_{s}}}\)
\(\displaystyle{ V_{k} = \frac{4}{3} \pi R^{3}}\)
\(\displaystyle{ V_{s} = \frac{1}{3} \pi r^{2} h}\)
\(\displaystyle{ r = 2R}\)
\(\displaystyle{ \tg \alpha = \frac{h}{r}}\)
\(\displaystyle{ \frac{4}{3} = \frac{h}{2R}}\)
\(\displaystyle{ h = \frac{8}{3}R}\)
\(\displaystyle{ \frac{V_{k}}{V_{s}} = \frac{ \frac{4}{3} \pi R^{3}}{ \frac{32}{9} \pi R^{3}} = \frac{3}{8}}\)
Mam nadzieje ze pomogłam