wdzieczny bede jesli ktos pomoze rozwiązac:
graniastosłup prawidlowy czworokatny przecieto plaszczyzna, przechodzącą przez jeden z wierzchołków podstawy, otrzymując w przekrouju romb o kącie ostrym "alfa". Wyznacz cos "beta" gdzie "beta" jest katem nachylenia płaszczyny przekroju do plaszczyny podstawy
zadanko maturalne
-
markos
- Użytkownik
- Posty: 15
- Rejestracja: 29 kwie 2008, o 11:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lubowidz
- Pomógł: 6 razy
zadanko maturalne
a-krawędź podstawy
b-długość boku rombu
d _{1}-krótsza przekątna rombu, jest jednocześnie przekątną podstawy
\(\displaystyle{ d _{1}=a \sqrt{2}}\)
d _{2}-dłuższa przekątna rombu
Należy zauważyć, że:
\(\displaystyle{ \cos\beta=\frac{d _{1}}{d _{2}}}\)
Z twierdzenia cosinusów obliczamy:
\(\displaystyle{ d _{1} ^{2}=b ^{2}+b ^{2}-2b ^{2}\cos\alpha}\)
\(\displaystyle{ 2a^{2}=2b ^{2}-2b ^{2}\cos\alpha}\)
\(\displaystyle{ b=\frac{a }{ \sqrt{1-\cos\alpha}}}\)
Następnie korzystamy ze wzorów na pole rombu:
\(\displaystyle{ b ^{2} \sin\alpha=\frac{1 }{ 2}d _{1}d _{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{a ^{2} }{ 1-\cos\alpha}\sin\alpha=\frac{1 }{ 2}a \sqrt{2}d _{2}}\)
\(\displaystyle{ d _{2}=\frac{2a\sin\alpha}{ \sqrt{2}(1-\cos\alpha)}}\)
Podstawiamy d _{1} i d _{2}
\(\displaystyle{ \cos\beta=\frac{a \sqrt{2}\sqrt{2}(1-\cos\alpha)}{2a\sin\alpha}=\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}}\)
b-długość boku rombu
d _{1}-krótsza przekątna rombu, jest jednocześnie przekątną podstawy
\(\displaystyle{ d _{1}=a \sqrt{2}}\)
d _{2}-dłuższa przekątna rombu
Należy zauważyć, że:
\(\displaystyle{ \cos\beta=\frac{d _{1}}{d _{2}}}\)
Z twierdzenia cosinusów obliczamy:
\(\displaystyle{ d _{1} ^{2}=b ^{2}+b ^{2}-2b ^{2}\cos\alpha}\)
\(\displaystyle{ 2a^{2}=2b ^{2}-2b ^{2}\cos\alpha}\)
\(\displaystyle{ b=\frac{a }{ \sqrt{1-\cos\alpha}}}\)
Następnie korzystamy ze wzorów na pole rombu:
\(\displaystyle{ b ^{2} \sin\alpha=\frac{1 }{ 2}d _{1}d _{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{a ^{2} }{ 1-\cos\alpha}\sin\alpha=\frac{1 }{ 2}a \sqrt{2}d _{2}}\)
\(\displaystyle{ d _{2}=\frac{2a\sin\alpha}{ \sqrt{2}(1-\cos\alpha)}}\)
Podstawiamy d _{1} i d _{2}
\(\displaystyle{ \cos\beta=\frac{a \sqrt{2}\sqrt{2}(1-\cos\alpha)}{2a\sin\alpha}=\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}}\)