granistosłup

[Paatyczak]

Oblicz objętość i pole graniastosłupa prostego o podstawie kwadratowej, którego przekątna ściany bocznej równa d tworzy z przekątną podstawy poprowadzoną z tego samego wierzcholka kąt \(\displaystyle{ \alpha}\).

[Bizmon]

niech:
a- długość b oku podstawy
\(\displaystyle{ a \sqrt{2}}\)- przekątna podstawy
H- wysokość graniastosłupa

trójkąt AB'C jest trójkątem równoramiennym gdzie lAB'l=lCB'l=d kąty CAB'=ACB'=\(\displaystyle{ \alpha}\).
AB'C=\(\displaystyle{ 180-2 \cdot \alpha}\)
z tw. sinusów trójkąta AB'C:
\(\displaystyle{ \frac{a \sqrt{2} }{sin (180-2\alpha)}= \frac{d}{sin\alpha}}\)
\(\displaystyle{ \frac{a \sqrt{2} }{sin 2\alpha}= \frac{d}{sin\alpha}}\)
\(\displaystyle{ \frac{a \sqrt{2} }{2 \cdot sin\alpha \cdot cos\alpha}= \frac{d}{sin\alpha}}\)
\(\displaystyle{ \frac{a \sqrt{2} }{2 \cdot cos\alpha}=d}\)
\(\displaystyle{ a \sqrt{2} =d \cdot 2 \cdot cos\alpha}\)
\(\displaystyle{ a =d \cdot \sqrt{2} \cdot cos\alpha}\)

później liczysz H z tw. Pitagorasa dla trójkąta ABB'.
pole i objętość to już łatwe jak masz H i a.(chyba nic nie pomyliłem..)