Zadanko o kuli i stożku

[Gmartyna]

Kula o promieniu L i stożek mają równe objętości. Pole powierzchni bocznej stożka jest trzy razy większe niz pole podstawy. Wyznacz H

[Zordon]

\(\displaystyle{ P_b=3P_p}\)

\(\displaystyle{ \pi rl=3\pi r^2}\)
\(\displaystyle{ l=3r}\)

z Tw. Pitagorasa:

\(\displaystyle{ r^2+H^2=l^2}\)
\(\displaystyle{ r^2+H^2=(3r)^2}\)
\(\displaystyle{ r^2+H^2=9r^2}\)
\(\displaystyle{ H^2=8r^2}\)
\(\displaystyle{ H=2\sqrt{2}r}\)


\(\displaystyle{ V_s=\pi r^2H}\)
\(\displaystyle{ V_s=\pi r^2 2\sqrt{2}r}\)
\(\displaystyle{ V_s=2\sqrt{2} \pi r^3}\)


\(\displaystyle{ V_s=V_k}\)
\(\displaystyle{ 2\sqrt{2} \pi r^3= \frac{4\pi L^3}{3}}\)
\(\displaystyle{ r^3= \frac{4 L^3}{3 2\sqrt{2}}}\)
po usunieciu niewymierności:
\(\displaystyle{ r^3= \frac{\sqrt{2} L^3}{3}}\)
\(\displaystyle{ r= \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2} L^3}{3}}}\)
\(\displaystyle{ r= L\sqrt[3]{\frac{\sqrt{2}}{3}}}\)

\(\displaystyle{ H= L 2\sqrt{2} \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2}}{3}}}\)