Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Oblicz objętość tego ostrosłupa.
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krwędź podstawy ma \(\displaystyle{ 6 \sqrt{2}}\)cm a kąt między krawędzią boczną i jego wysokością ma 30 stopni. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
-
lukasz1804
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Wystarczy znaleźć wysokość H ostrosłupa. Zauważmy, że jest ona przyprostokątną w trójkącie prostokątnym o drugiej przyprostokątnej c równej połowie przekątnej podstawy ostrosłupa i przeciwprostokątnej równej krawędzi bocznej b ostrosłupa.
Oczywiście ze wzoru na przekątną kwadratu znajdujemy łatwo połowę jej długości:
\(\displaystyle{ c=\frac{1}{2}\cdot 6\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=6}\).
Ponadto ponieważ kąt między krawędzią boczną ostrosłupa a jego wysokością wynosi \(\displaystyle{ 30^{o}}\), to mamy \(\displaystyle{ b=2c=12}\). Stąd i z twierdzenia Pitagorasa mamy \(\displaystyle{ b^2=c^2+H^2}\), więc \(\displaystyle{ H=\sqrt{b^2-c^2}=\sqrt{12^2-6^2}=\sqrt{144-36}=\sqrt{108}=6\sqrt{3} cm}\).
Oczywiście ze wzoru na pole kwadratu otrzymamy pole podstawy ostrosłupa: \(\displaystyle{ P_p=(6\sqrt{2})^2=72 cm^2}\). Stąd i ze wzoru na objetość ostrosłupa otrzymujemy
Oczywiście ze wzoru na przekątną kwadratu znajdujemy łatwo połowę jej długości:
\(\displaystyle{ c=\frac{1}{2}\cdot 6\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=6}\).
Ponadto ponieważ kąt między krawędzią boczną ostrosłupa a jego wysokością wynosi \(\displaystyle{ 30^{o}}\), to mamy \(\displaystyle{ b=2c=12}\). Stąd i z twierdzenia Pitagorasa mamy \(\displaystyle{ b^2=c^2+H^2}\), więc \(\displaystyle{ H=\sqrt{b^2-c^2}=\sqrt{12^2-6^2}=\sqrt{144-36}=\sqrt{108}=6\sqrt{3} cm}\).
Oczywiście ze wzoru na pole kwadratu otrzymamy pole podstawy ostrosłupa: \(\displaystyle{ P_p=(6\sqrt{2})^2=72 cm^2}\). Stąd i ze wzoru na objetość ostrosłupa otrzymujemy
\(\displaystyle{ V=\frac{1}{3}P_pH=\frac{1}{3}\cdot 72\cdot 6\sqrt{3}=144\sqrt{3} cm^3}\).