pole powierzchni kuli

[mat1989]

Pole powierzchni kuli wpisanej w stożek jest równe polu jego podstawy. Oblicz :
a)stosunek pola powierzchnii kuli do pola powierzchnii bocznej stożka,
b)jaką częścią objętości stożka jest objętość kuli.

[JankoS]

Pole powierzchni kuli wpisanej w stożek jest równe polu jego podstawy. Oblicz : a)stosunek pola powierzchnii kuli do pola powierzchnii bocznej stożka, b)jaką częścią objętości stożka jest objętość kuli.

r - promień kuli, R - promień podst. stoąka, h - wysokość stożka. l=AC=BC tworząca.
Z danych zadania
\(\displaystyle{ 4\pi r ^{2}=\pi R ^{2} R ^{2}=4r ^{2}}\)
Łatwo wykazać , że trójlkąty CEO i OEB są podobne. Stąd \(\displaystyle{ \frac{CE}{OE}=\frac{OE}{EB}.}\) czyli \(\displaystyle{ \frac{x}{r}=\frac{r}{R} x=\frac{r ^{2}}{R} l=R+x=R+ \frac{r ^{2}}{R}= \frac{R ^{2}+ r ^{2}}{R}}\)
Z trójk. COB i z tw. Pitagorasa \(\displaystyle{ h ^{2}=l ^{2}-R ^{2}=( \frac{R ^{2}+ r ^{2}}{R}) ^{2}-R ^{2}}=\frac{R ^{4}+2R ^{2}r ^{2}+r ^{4} -R ^{4}}{R ^{2}} =}\)
\(\displaystyle{ =\frac{2R ^{2}r ^{2}+r ^{4}}{R ^{2}}=\frac{9r ^{4}}{4r ^{2}} h=\frac{3}{2}r}\)
a) Szukam \(\displaystyle{ k=\frac{4\pi r ^{2}}{2\pi Rl}=\frac{2r ^{2}}{R\frac{R ^{2}+ r ^{2}}{R}}=\frac{2r ^{2}}{4r ^{2}+r ^{2}}=...}\)
b)\(\displaystyle{ m=\frac{\frac {4}{3}\pi r ^{3}}{\frac{1}{3}\pi R ^{2}h}=\frac{4r ^{3}}{R ^{2}h}=...}\)
Mam nadzieję, że się nie pomyliłem.

[Nethia]

\(\displaystyle{ P_{k}=P_{p}}\)

\(\displaystyle{ 4\pi R^{2}=\pi r^{2}}\)

\(\displaystyle{ 2R=r}\)

a)\(\displaystyle{ \frac{4\pi R^{2}}{\pi rl} = \frac{4\pi R^{2}}{\pi 2Rl} = \frac{2R}{l} = \frac{r}{l} = \cos \alpha}\)

\(\displaystyle{ \tg \alpha = \tg 2 \beta = \frac{2 \tg \beta}{1- \tg^{2} \beta}}\)

\(\displaystyle{ \tg \beta = \frac{R}{r} = \frac{R}{2R} = \frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ \tg 2 \beta = \frac{2 \cdot 0,5}{1-(0,5)^{2}} = \frac{4}{3}}\)

\(\displaystyle{ \tg^{2} \alpha = \frac{sin^{2} \alpha}{cos^{2} \alpha} = \frac{1-cos^{2} \alpha}{cos^{2} \alpha}}\)

\(\displaystyle{ ( \frac{4}{3} )^{2} = \frac{1-cos^{2} \alpha}{cos^{2}}}\)

Obliczając to równanie wychodzi

\(\displaystyle{ \cos \alpha = \frac{3}{5}}\)
\(\displaystyle{ \cos \alpha = - \frac{3}{5}}\)

A że stosunek pól nie moze byc ujemny odpowiedzią są \(\displaystyle{ \frac{3}{5}}\)

b)\(\displaystyle{ \frac{V_{k}}{V_{s}}}\)

\(\displaystyle{ V_{k} = \frac{4}{3} \pi R^{3}}\)

\(\displaystyle{ V_{s} = \frac{1}{3} \pi r^{2} h}\)

\(\displaystyle{ r = 2R}\)

\(\displaystyle{ \tg \alpha = \frac{h}{r}}\)

\(\displaystyle{ \frac{4}{3} = \frac{h}{2R}}\)

\(\displaystyle{ h = \frac{8}{3}R}\)

\(\displaystyle{ \frac{V_{k}}{V_{s}} = \frac{ \frac{4}{3} \pi R^{3}}{ \frac{32}{9} \pi R^{3}} = \frac{3}{8}}\)

Mam nadzieje ze pomogłam