ostrosłup prawidłowy czworokątny

[threphanathor]

Pole ściany bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe S. Kąt płaski przy wierzchołku ostrosłupa ma miarę 2alfa. Oblicz objętość ostrosłupa.

Byłny wdzięczny gdyby ktoś mi z tym pomógł...

[hoodies]

a więc tak kąt płaski to nic innego jak kąt między dwoma ramionami krawędzi bocznych .

Zajmujemy się polem ściany bocznej.

S-pole ściany bocznej
a-kr podstawy
h-wysokość ściany bocznej
H-wys bryły
alfa kąt płaski

\(\displaystyle{ P_b=\frac{1}{2}*a*h =S}\)

a i h uzależniamy od kąta

\(\displaystyle{ tg\alpha =\frac{\frac{a}{2}}{h} h=\frac{a}{2*tg\alpha} ,a=2*h*tg\alpha}\)

wracamy do wzoru na pole ściany bocznej

\(\displaystyle{ S= \frac{1}{2}*2h*tg\alpha *h h=\sqrt\frac{S}{tg\alpha}}\)

i

\(\displaystyle{ S=\frac{1}{2}* a* \frac{a}{2*tg\alpha} a=\sqrt {4*S*tg\alpha}}\)

Teraz szukamy związu między H,h i a/2
Stosujemy tu zwykłego pitagorasa

\(\displaystyle{ H^2= h^2-(\frac{a}{2})^2}\)

podstawiamy do wzoru wcześniej wyliczone a i h i otrzymujemy

\(\displaystyle{ H=\sqrt \frac{S(1-tg^2\alpha)}{tg\alpha}}\)

Wszystko podstawiamy do wzoru na objętość

\(\displaystyle{ V= \frac{1}{3} * (4*S*tg\alpha)*(\sqrt \frac{S(1-tg^2\alpha)}{tg\alpha}) = \frac{4}{3}tg\alpha\sqrt \frac {S^3(1-tg^2\alpha)}{tg\alpha}}\)

można jeszcze pobawić się z liczbą pod pierwiastkiem żeby nei była taka dziwna :p

np.

\(\displaystyle{ V= \frac{4}{3}tg\alpha\sqrt \frac {S^3*2}{tg2\alpha} = \frac{4}{3}tg\alpha \sqrt {S^3*2*ctg2\alpha}}\)


Ciekawe zadanie mam nadzieje że dobrze je zrobiłem:)

[threphanathor]

tak wlaśnie miało wyjść:D wiekie dzięki!