Pole powierzchni kuli wpisanej w stożek jest równe polu jego podstawy. Oblicz:
a) stosunek pola powierzchni kuli do pola powierzchni bocznej stożka,
b) jaką częścią objętości stożka jest objętość kuli?
Pole powierzchni kuli wpisanej w stożek
-
LastSeeds
- Użytkownik
- Posty: 346
- Rejestracja: 17 cze 2008, o 22:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Krk
- Podziękował: 41 razy
- Pomógł: 17 razy
Pole powierzchni kuli wpisanej w stożek
a)
rysunek
\(\displaystyle{ P_{k}=P_{b} \Leftrightarrow4\pi R^{2}=\pi r^{2} \Leftrightarrow r=2R}\)
\(\displaystyle{ \frac{P_{k}}{P_{b}}= \frac{4\pi R^{2}}{\pi rl}= \frac{4R^{2}}{2Rl}= \frac{2R}{l}= \frac{r}{l}= cos\alpha}\)
patrzymy na rysunek , i teraz trzeba zauwazyc przystawanie trojkatow, dopisac r do odpowiedniego boku
i zauwazyc ze ten dopisany bok do calej podstawy to tez \(\displaystyle{ cos\alpha}\)
\(\displaystyle{ \frac{r}{2r}=cos\alpha \Leftrightarrow cos\alpha= \frac{1}{2}}\)
wiec \(\displaystyle{ \frac{r}{l}= \frac{1}{2}}\)
b)
\(\displaystyle{ \alpha=60\Angle \Rightarrow rownoboczny \Rightarrow H= \frac{2r \sqrt{3} }{2}=r \sqrt{3} =2R \sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ V_{k}= \frac{4}{3}\pi R^{3}}\)
\(\displaystyle{ V_{s}= \frac{1}{3} \cdot \pi r^{2} \cdot H=\frac{1}{3} \cdot\pi 4R^{2} \cdot 2R \sqrt{3}=\frac{1}{3} \cdot\pi 8R^{3} \sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ V_{sz}= \frac{V_{k}}{V_{s}}= \frac{\frac{4}{3}\pi R^{3}}{\frac{1}{3} \cdot\pi 8R^{3} \sqrt{3}}= \frac{4}{8 \cdot \sqrt{3} }= \frac{ \sqrt{3} }{6}}\)
rysunek
\(\displaystyle{ P_{k}=P_{b} \Leftrightarrow4\pi R^{2}=\pi r^{2} \Leftrightarrow r=2R}\)
\(\displaystyle{ \frac{P_{k}}{P_{b}}= \frac{4\pi R^{2}}{\pi rl}= \frac{4R^{2}}{2Rl}= \frac{2R}{l}= \frac{r}{l}= cos\alpha}\)
patrzymy na rysunek , i teraz trzeba zauwazyc przystawanie trojkatow, dopisac r do odpowiedniego boku
i zauwazyc ze ten dopisany bok do calej podstawy to tez \(\displaystyle{ cos\alpha}\)
\(\displaystyle{ \frac{r}{2r}=cos\alpha \Leftrightarrow cos\alpha= \frac{1}{2}}\)
wiec \(\displaystyle{ \frac{r}{l}= \frac{1}{2}}\)
b)
\(\displaystyle{ \alpha=60\Angle \Rightarrow rownoboczny \Rightarrow H= \frac{2r \sqrt{3} }{2}=r \sqrt{3} =2R \sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ V_{k}= \frac{4}{3}\pi R^{3}}\)
\(\displaystyle{ V_{s}= \frac{1}{3} \cdot \pi r^{2} \cdot H=\frac{1}{3} \cdot\pi 4R^{2} \cdot 2R \sqrt{3}=\frac{1}{3} \cdot\pi 8R^{3} \sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ V_{sz}= \frac{V_{k}}{V_{s}}= \frac{\frac{4}{3}\pi R^{3}}{\frac{1}{3} \cdot\pi 8R^{3} \sqrt{3}}= \frac{4}{8 \cdot \sqrt{3} }= \frac{ \sqrt{3} }{6}}\)
Ostatnio zmieniony 5 kwie 2009, o 19:02 przez LastSeeds, łącznie zmieniany 1 raz.
Pole powierzchni kuli wpisanej w stożek
\(\displaystyle{ P_{k}=P_{p}}\)
\(\displaystyle{ 4\pi R^{2}=\pi r^{2}}\)
\(\displaystyle{ 2R=r}\)
a)\(\displaystyle{ \frac{4\pi R^{2}}{\pi rl} = \frac{4\pi R^{2}}{\pi 2Rl} = \frac{2R}{l} = \frac{r}{l} = \cos \alpha}\)
\(\displaystyle{ \tg \alpha = \tg 2 \beta = \frac{2 \tg \beta}{1- \tg^{2} \beta}}\)
\(\displaystyle{ \tg \beta = \frac{R}{r} = \frac{R}{2R} = \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ \tg 2 \beta = \frac{2 \cdot 0,5}{1-(0,5)^{2}} = \frac{4}{3}}\)
\(\displaystyle{ \tg^{2} \alpha = \frac{sin^{2} \alpha}{cos^{2} \alpha} = \frac{1-cos^{2} \alpha}{cos^{2} \alpha}}\)
\(\displaystyle{ ( \frac{4}{3} )^{2} = \frac{1-cos^{2} \alpha}{cos^{2}}}\)
Obliczając to równanie wychodzi
\(\displaystyle{ \cos \alpha = \frac{3}{5}}\)
\(\displaystyle{ \cos \alpha = - \frac{3}{5}}\)
A że stosunek pól nie moze byc ujemny odpowiedzią są \(\displaystyle{ \frac{3}{5}}\)
b)\(\displaystyle{ \frac{V_{k}}{V_{s}}}\)
\(\displaystyle{ V_{k} = \frac{4}{3} \pi R^{3}}\)
\(\displaystyle{ V_{s} = \frac{1}{3} \pi r^{2} h}\)
\(\displaystyle{ r = 2R}\)
\(\displaystyle{ \tg \alpha = \frac{h}{r}}\)
\(\displaystyle{ \frac{4}{3} = \frac{h}{2R}}\)
\(\displaystyle{ h = \frac{8}{3}R}\)
\(\displaystyle{ \frac{V_{k}}{V_{s}} = \frac{ \frac{4}{3} \pi R^{3}}{ \frac{32}{9} \pi R^{3}} = \frac{3}{8}}\)
Mam nadzieje ze pomogłam