W prostopadłoscianie \(\displaystyle{ ABCDA_1B_1C_1D_1}\) poprowadzono przekatna \(\displaystyle{ BD_1}\). Niech \(\displaystyle{ \alpha}\) oznacza kat
nachylenia przekatnej \(\displaystyle{ BD_1}\) do podstawy ABCD, \(\displaystyle{ \beta}\) – kat nachylenia tej przekatnej do sciany\(\displaystyle{ ABB_1A_1}\), \(\displaystyle{ \gamma}\) – kat nachylenia tej przekatnej do sciany \(\displaystyle{ BCC_1B_1}\). Udowodnij, że:
\(\displaystyle{ cos^2\alpha + cos^2\beta + cos^2\gamma = 2.}\)
Udowodnij, że
-
Justka
- Użytkownik
- Posty: 1680
- Rejestracja: 25 sty 2007, o 12:58
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 579 razy
Udowodnij, że
\(\displaystyle{ a=|AB|\\
b=|BC|\\
c=|AA_1|=|BB_1|=|CC_1|=|DD_1|\\
d=|B_1D|=\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\)
I mamy:
\(\displaystyle{ cos\alpha=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\\
cos\beta=\frac{\sqrt{a^2+c^2}}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\\
cos\gamma=\frac{\sqrt{b^2+c^2}}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ L=cos^2\alpha+cos^2\beta+ cos^2\gamma=\frac{a^2+b^2}{a^2+b^2+c^2}+\frac{a^2+c^2}{a^2+b^2+c^2}+\frac{b^2+c^2}{a^2+b^2+c^2}=
\frac{2a^2+2b^2+2c^2}{a^2+b^2+c^2}=2=P}\)
b=|BC|\\
c=|AA_1|=|BB_1|=|CC_1|=|DD_1|\\
d=|B_1D|=\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\)
I mamy:
\(\displaystyle{ cos\alpha=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\\
cos\beta=\frac{\sqrt{a^2+c^2}}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\\
cos\gamma=\frac{\sqrt{b^2+c^2}}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ L=cos^2\alpha+cos^2\beta+ cos^2\gamma=\frac{a^2+b^2}{a^2+b^2+c^2}+\frac{a^2+c^2}{a^2+b^2+c^2}+\frac{b^2+c^2}{a^2+b^2+c^2}=
\frac{2a^2+2b^2+2c^2}{a^2+b^2+c^2}=2=P}\)